3
x^{2}- a x+2= 0
denkleminin kökleri x, ve x, dir.
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 89
E) 10
3x^2 - ax + 2 = 0 Denkleminin Kökleri ve Katsayı İlişkisi
KULLANILAN FORMÜL:
İkinci dereceden ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x_1 ve x_2 olsun:
- Kökler Toplamı: x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
- Kökler Çarpımı: x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemdeki Katsayıların Belirlenmesi
Verilen 3x^2 - ax + 2 = 0 denkleminde:
- a = 3
- b = -a
- c = 2
Adım 2 — Kökler Toplamı ve Çarpımının Hesaplanması
- Kökler toplamı: x_1 + x_2 = -\frac{(-a)}{3} = \frac{a}{3}
- Kökler çarpımı: x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{3}
Adım 3 — Verilen İfadenin Düzenlenmesi
Soruda bize \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3 olduğu verilmiştir. Bu ifadede payda eşitleyelim:
\frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2} = 3
Adım 4 — Değerlerin Yerine Konulması ve a Sayısının Bulunması
Bulduğumuz kökler toplamı (\frac{a}{3}) ve kökler çarpımı (\frac{2}{3}) değerlerini yerleştirelim:
\frac{\frac{a}{3}}{\frac{2}{3}} = 3
Burada paydadaki 3’ler sadeleşir:
\frac{a}{2} = 3
a = 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 6 (C seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kök-Katsayı İlişkileri (Vieta Formülleri)
- Tanım: İkinci dereceden bir denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki matematiksel bağıntılardır.
- Bu problemde: Rasyonel bir ifadeyi payda eşitleyerek bildiğimiz toplam ve çarpım formlarına dönüştürdük.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşaret Hatası
- Yanlış: Kökler toplamını \frac{b}{a} olarak almak.
- Doğru: Formül -\frac{b}{a} şeklindedir. Denklemdeki b değeri zaten negatif (-a) olduğu için işlemin sonucu pozitif çıkar.
- Neden Yanlış: İşaret hatası a değerinin yanlış bulunmasına neden olur.
Bu çözümde kökler toplamı ve çarpımı arasındaki oranı kullandık. Benzer mantıkla x_1^2 + x_2^2 gibi daha karmaşık ifadelerin sorulduğu soruları da çözmemi ister misin?