Soru:
denkleminin kökleri çarpımı kaçtır?
(x + 2) dot (x + 3) dot (x + 4) dot (x + 5) = (x + 1) dot (x + 6) + 10
Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) = (x + 1)(x + 6) + 10 denkleminin kökleri çarpımı kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Polinom kökleri çarpımı, polinomun sabit terimi ile baş katsayısının oranına bağlıdır (eğer denklem bir polinom şeklindeyse).
- Denklemi sağlıklı şekilde sadeleştirip polinom haline getirdiğimizde köklerin çarpımı sabit terim/basit katsayı şeklindedir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemi genişlet
İlk olarak sol ve sağ taraf açılır:
Sol taraf:
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)
İlk iki terimi çarp:
(x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6
Sonraki iki terimi çarp:
(x + 4)(x + 5) = x^2 + 9x + 20
Şimdi bunları çarp:
(x^2 + 5x + 6)(x^2 + 9x + 20)
Açalım:
x^2 \cdot x^2 = x^4
x^2 \cdot 9x = 9x^3
x^2 \cdot 20 = 20x^2
5x \cdot x^2 = 5x^3
5x \cdot 9x = 45x^2
5x \cdot 20 = 100x
6 \cdot x^2 = 6x^2
6 \cdot 9x = 54x
6 \cdot 20 = 120
Toplam:
x^4 + (9x^3 + 5x^3) + (20x^2 + 45x^2 + 6x^2) + (100x + 54x) + 120
= x^4 + 14x^3 + 71x^2 + 154x + 120
Adım 2 — Sağ tarafı aç
(x+1)(x+6) + 10 = x^2 + 7x + 6 + 10 = x^2 + 7x + 16
Adım 3 — Denklemi polinom halinde düzenle
x^4 + 14x^3 + 71x^2 + 154x + 120 = x^2 + 7x + 16
Her iki tarafı birbirinden çıkaralım:
x^4 + 14x^3 + 71x^2 + 154x + 120 - x^2 - 7x - 16 = 0
x^4 + 14x^3 + (71 - 1)x^2 + (154 - 7)x + (120 - 16) = 0
x^4 + 14x^3 + 70x^2 + 147x + 104 = 0
Adım 4 — Köklerin çarpımını bul
Dördüncü dereceden bir denklemin genel formu:
a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0
Burada a=1, b=14, c=70, d=147, e=104.
- Köklerin çarpımı (x_1 x_2 x_3 x_4) = \frac{e}{a} veya \frac{104}{1} = 104
(Daha doğru ifade, dördüncü dereceli tekil terim için işaret durumu: tek dereceden terimlerde (-1)^n \frac{e}{a}. Derece 4 ve katsayı pozitif olduğu için köklerin çarpımı \frac{e}{a} = 104 .)
Not: Çift dereceli denklemlerde köklerin çarpımı sabit terimin baş katsayıya bölümün işaretidir. Dördüncü derecede çift olduğu için işaret olumlu.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 104
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
denkleminin kökleri çarpımı kaçtır? (x + 2) · (x + 3) · (x + 4) · (x + 5) = (x + 1) · (x + 6) + 10
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bir derecesi 4 olan ve baş katsayısı 1 olan (monik) polinom için köklerin çarpımı =\;(-1)^4\cdot\frac{a_0}{1}=a_0.
- Burada a_0 polinomun sabit terimidir; a_0=P(0) hesaplanarak bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemi polinom hâline getir ve sabit terimi hesapla
Denklemi sıfıra eşitle:
(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-(x+1)(x+6)-10=0
Sabit terim P(0):
P(0)=(0+2)(0+3)(0+4)(0+5)-(0+1)(0+6)-10
=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 - 1\cdot 6 - 10
=6\cdot 4\cdot 5 - 6 - 10
=24\cdot 5 - 6 - 10
=120 - 6 - 10
=114 - 10
=104
Adım 2 — Kökler çarpımını kullan
Polinom derece 4 ve baş katsayısı 1 olduğundan:
(-1)^4 = 1
\text{Köklerin çarpımı} = 1 \cdot 104 = 104
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Monik polinom
- Tanım: Baş katsayısı 1 olan polinom.
- Bu problemde: Dördüncü dereceden polinomumuzun baş katsayısı 1 olduğundan köklerin çarpımı doğrudan sabit terime eşittir.
2. Sabit terim (a_0)
- Tanım: Polinomdaki x içermeyen terim; polinomun x=0 değeridir.
- Bu problemde: P(0)=104 olarak hesaplandı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Tam açılma gerekliliği
- Yanlış: Tüm ifadeyi genişletip katsayılarla uğraşmak.
- Doğru: Sabit terimi doğrudan x=0 koyarak hızlıca bulun.
- Neden yanlış: Gereksiz uzun hesaplama ve hata yapma riski artar.
- Düzeltme: Önce sabit terimi hesaplayın veya simetrik dönüşümler kullanın.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
CEVAP: 104