Denkleminin kökler toplamı kaçtır?

LİSE
1

(x-2) dot (3x - 7) = 2x -4
denkleminin kökler toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C)5
D) 7
E) 9

(x-2) dot (3x - 7) = 2x -4 denkleminin kökler toplamı kaçtır?
(x-2) dot (3x - 7) = 2x -4 denkleminin kökler toplamı kaçtır?1024×526 99.5 KB

2

(x-2) \cdot (3x-7) = 2x-4 Denkleminin Kökler Toplamı

:light_bulb: KULLANILAN YÖNTEM: İkinci dereceden denkleme dönüştürme ve ortak çarpan parantezine alma.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Denklemi Düzenleme
Denklemin sağ tarafındaki ifadeyi (2x - 4) ortak çarpan parantezine alalım.

2x - 4 = 2(x - 2)

Şimdi denklemi tekrar yazalım:

(x - 2) \cdot (3x - 7) = 2(x - 2)

Adım 2 — Tüm İfadeleri Bir Tarafa Toplama
Denklemin sağındaki ifadeyi sola geçirelim. Dikkat: Burada (x-2) ifadelerini sadeleştirmek kök kaybına neden olabilir, bu yüzden sadeleştirmek yerine çıkarma olarak karşıya atıyoruz.

(x - 2) \cdot (3x - 7) - 2(x - 2) = 0

Adım 3 — Ortak Çarpan Parantezine Alma
Her iki terimde de bulunan (x - 2) çarpanını parantez dışına alalım:

(x - 2) \cdot [(3x - 7) - 2] = 0
(x - 2) \cdot (3x - 9) = 0

Adım 4 — Kökleri Bulma
Çarpım sıfıra eşitse, çarpanlardan en az biri sıfır olmalıdır.

  • Birinci kök için (x_1):
    x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2
  • İkinci kök için (x_2):
    3x - 9 = 0 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x_2 = 3

Adım 5 — Kökler Toplamını Hesaplama
Bulduğumuz kökleri toplayalım:

x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Ortak Çarpan Parantezi

  • Tanım: Bir cebirsel ifadede her terimde ortak bulunan sayıyı veya değişkeni parantez dışına alma işlemidir.
  • Bu problemde: 2x-4 ifadesindeki 2 çarpanı ve sonrasındaki (x-2) çarpanı ortak parantez için kullanılmıştır.

2. Kök Kaybı

  • Tanım: Eşitliğin her iki tarafındaki bilinmeyenli ifadeler sadeleştirilirse, o ifadeyi sıfır yapan değer (kök) yok edilmiş olur.
  • Bu problemde: (x-2)'leri sadeleştirmek yerine karşıya atarak x=2 kökünü korumuş olduk.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Sadeleştirme Hatası

  • Yanlış: (x-2)'leri her iki taraftan silip sadece 3x-7=2 üzerinden işlem yapmak.
  • Doğru: İfadeyi karşı tarafa atıp paranteze almak veya sadeleştirilen ifadenin kökünü (x=2) mutlaka not etmek.
  • Neden Yanlış: Sadeleştirme yapılırsa denklemin derecesi düşer ve köklerden biri (x=2) kaybolur, bu da yanlış sonuca götürür.

Bu çözümde uyguladığımız “ortak çarpan parantezine alma” yöntemi yerine, denklemi tamamen dağıtıp ax^2 + bx + c = 0 formatına getirerek -b/a formülüyle de aynı sonuca ulaşmamı ister misin?