Denkleminin farklı rasyonel köklerinin toplamı kaçtır?

Maths Question
1

3,
x-2x |3-x| +3 =0
denkleminin farklı rasyonel köklerinin toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
vx+X+3
denklemini sac

3, x-2x 3-x +3 =0 denkleminin farklı rasyonel köklerinin toplamı kaçtır?
3, x-2x 3-x +3 =0 denkleminin farklı rasyonel köklerinin toplamı kaçtır?1024×400 38.7 KB

2

x^2 - 2x|3 - x| + 3 = 0 Denkleminin Rasyonel Köklerinin Toplamı

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:

  1. Mutlak Değer Tanımı:
    |f(x)| = \begin{cases} f(x), & f(x) \ge 0 \\ -f(x), & f(x) < 0 \end{cases}
  2. İkinci Dereceden Denklem Çözümü ve Kök Türleri:
    • ax^2 + bx + c = 0 denkleminde diskriminant \Delta = b^2 - 4ac tam kare ise kökler rasyonel, tam kare değilse irrasyoneldir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Mutlak Değerin Kritik Noktasına Göre İnceleme

Mutlak değerli ifadenin içini sıfır yapan kritik nokta:

3 - x = 0 \implies x = 3

Denklemi iki ayrı aralıkta incelememiz gerekir:

  • 1. Durum: x \le 3 ise 3 - x \ge 0 olacağından |3 - x| = 3 - x çıkar.
  • 2. Durum: x > 3 ise 3 - x < 0 olacağından |3 - x| = -(3 - x) = x - 3 çıkar.

Adım 2 — Birinci Durumun Çözümü (x \le 3)

Mutlak değer dışarıya aynen çıkar:

x^2 - 2x(3 - x) + 3 = 0

Parantezi dağıtıp ifadeyi düzenleyelim:

x^2 - 6x + 2x^2 + 3 = 0
3x^2 - 6x + 3 = 0

Eşitliğin her iki tarafını 3 ile bölelim:

x^2 - 2x + 1 = 0
(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1

Bulunan x = 1 değeri x \le 3 koşulunu sağlar. Ayrıca 1 sayısı bir rasyonel sayıdır (1 \in \mathbb{Q}).

Adım 3 — İkinci Durumun Çözümü (x > 3)

Mutlak değer dışarıya işaret değiştirerek çıkar:

x^2 - 2x(x - 3) + 3 = 0

Parantezi dağıtıp ifadeyi düzenleyelim:

x^2 - 2x^2 + 6x + 3 = 0
-x^2 + 6x + 3 = 0
x^2 - 6x - 3 = 0

Diskriminantı (\Delta) hesaplayalım:

\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 36 + 12 = 48

Kökleri bulalım:

x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{3}
  • x_1 = 3 + 2\sqrt{3} \approx 3 + 3{,}46 = 6{,}46 > 3 (Koşulu sağlar ancak irrasyonel bir sayıdır).
  • x_2 = 3 - 2\sqrt{3} < 3 (x > 3 koşulunu sağlamaz).

Adım 4 — Farklı Rasyonel Köklerin Toplanması

Soru bizden yalnızca rasyonel kökleri istemektedir:

  • Tek rasyonel kök: x = 1

Dolayısıyla farklı rasyonel köklerin toplamı 1 olur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A şıkkı (1)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Mutlak Değerli Denklemler

  • Tanım: İçerisinde mutlak değer barındıran denklemler, mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktalara göre parçalı tanımlı hale getirilerek çözülür.
  • Bu problemde: x = 3 kritik noktasına göre x \le 3 ve x > 3 aralıkları ayrı ayrı incelenmiştir.

2. Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar

  • Tanım: a, b \in \mathbb{Z} ve b \neq 0 olmak üzere \frac{a}{b} biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı, kök dışına tam çıkamayan (\sqrt{3} gibi) sayılara irrasyonel sayı denir.
  • Bu problemde: 3 + 2\sqrt{3} değeri denklemi sağlayan bir kök olmasına rağmen irrasyonel olduğu için toplam hesabına dahil edilmemiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: İrrasyonel Kökleri Çözüme Dahil Etmek

  • Yanlış: İkinci durumdan gelen 3 + 2\sqrt{3} kökünü de rasyonel kök sanıp 1 + 3 + 2\sqrt{3} toplamını aramaya çalışmak.
  • Doğru: Soruda altı çizili rasyonel ifadesine dikkat ederek yalnızca tam sayı ve kesirli kökleri almak.
  • Neden yanlış: Karekökten kurtulamayan sayılar rasyonel değil, irrasyonel sayılardır.

Bu tür mutlak değerli ikinci derece denklemlerle ilgili bir pekiştirme sorusu daha çözmek ister misin?