X-4
imd
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
C) {3}
D) (-5
E) (-6}
\frac{4}{x-2} + \frac{1}{x+2} = \frac{1}{2-x} + \frac{3}{x+2} Denkleminin Çözüm Kümesi
KULLANILAN KURAL VE ÖZELLİKLER:
- İşaret Değiştirme Kuralı: Kesirlerde \frac{1}{2-x} = -\frac{1}{x-2} eşitliği kullanılır.
- Rasyonel Denklemlerde Çözüm: Paydası aynı olan terimler eşitliğin aynı tarafında toplanır ve içler-dışlar çarpımı yapılarak bilinmeyen (x) bulunur.
- Tanım Kümesi Şartı: Paydayı sıfır yapan değerler (x \neq 2 ve x \neq -2) çözüm kümesine dahil edilemez.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \frac{1}{2-x} İfadesini Düzenleme
Denklemin sağ tarafında yer alan \frac{1}{2-x} ifadesinin paydasını eksi parantezine alarak paydaları ortak hale getirelim:
\frac{1}{2-x} = -\frac{1}{x-2}
Denklem şu şekli alır:
\frac{4}{x-2} + \frac{1}{x+2} = -\frac{1}{x-2} + \frac{3}{x+2}
Adım 2 — Benzer Terimleri Eşitliğin Aynı Tarafında Toplama
Paydası (x-2) olan terimleri sol tarafa, paydası (x+2) olan terimleri sağ tarafa taşıyalım:
\frac{4}{x-2} + \frac{1}{x-2} = \frac{3}{x+2} - \frac{1}{x+2}
Adım 3 — Payları Toplama ve Çıkarma
Paydalar eşit olduğu için pay kısımlarındaki işlemleri yapalım:
\frac{4 + 1}{x-2} = \frac{3 - 1}{x+2}
\frac{5}{x-2} = \frac{2}{x+2}
Adım 4 — İçler-Dışlar Çarpımı Yaparak x’i Bulma
Elde edilen orantıda içler-dışlar çarpımı uygulayalım:
5 \cdot (x + 2) = 2 \cdot (x - 2)
5x + 10 = 2x - 4
Bilinmeyenleri bir tarafa, sabit sayıları diğer tarafa toplayalım:
5x - 2x = -4 - 10
3x = -14
x = -\frac{14}{3}
Adım 5 — Bulunan Kökün Tanım Kümesine Uygunluğunu Doğrulama
Paydaları sıfır yapan değerler x = 2 ve x = -2’dir. Bulunan x = -\frac{14}{3} değeri paydayı sıfır yapmadığından denklemin geçerli bir köküdür:
\text{Çözüm Kümesi} = \left\{-\frac{14}{3}\right\}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı \left\{-\frac{14}{3}\right\}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Rasyonel Denklemler
- Tanım: Bilinmeyenin paydada bulunduğu kesirli denklemlerdir.
- Bu problemde: Paydaları eşitlemek yerine benzer paydalı terimleri bir araya getirerek işlem kolaylığı sağlandı.
2. Tanımsızlık (Kritik Değerler)
- Tanım: Kesirli bir ifadenin paydasını 0 yapan değerler ifadeyi tanımsız yapar.
- Bu problemde: x = 2 veya x = -2 çıksaydı çözüm kümesine alınamazdı; bulunan -\frac{14}{3} değeri denklemi sağlar.
SIK YAPILAN HATALAR:
2-x ile x-2 Arasındaki İşaret Farkını Unutmak
- Yanlış: \frac{1}{2-x} ifadesini doğrudan \frac{1}{x-2} olarak almak.
- Doğru: \frac{1}{2-x} = -\frac{1}{x-2} şeklinde işaret dönüşümünü doğru uygulamak.
- Neden yanlış: 2-x = -(x-2) olduğu için eksi işareti hesaba katılmadığında denklem tamamen yanlış çözülür.
Benzer bir rasyonel denklem sorusu ile pratik yapmak ister misin?