(x+2)*1,
denklemini sağlayan kaç değer vardır?
A) 0
B) 1
C)2
D) 3
Üslü Denklemin Çözüm Kümesi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
a^b = 1 \text{ eşitliğinin sağlanması için 3 farklı durum incelenir:}
- b = 0 \text{ ve } a \neq 0 (Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir.)
- a = 1 (1’in tüm reel kuvvetleri 1’dir.)
- a = -1 \text{ ve } b \in 2\mathbb{Z} (-1’in çift tam sayı kuvvetleri 1’dir.)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Üssün Sıfır Olma Durumu (b = 0 ve a \neq 0)
Üs ifadesini sıfıra eşitleyip tabanın sıfırdan farklı olduğunu kontrol edelim:
x - 1 = 0 \implies x = 1
Taban kontrolü:
x + 2 = 1 + 2 = 3 \neq 0
3^0 = 1 sağlandığı için x = 1 geçerli bir köktür.
Adım 2 — Tabanın 1 Olma Durumu (a = 1)
Taban 1 olduğunda üs ne olursa olsun sonuç daima 1’dir:
x + 2 = 1 \implies x = -1
Kontrol:
(1)^{-1-1} = 1^{-2} = 1
Bu nedenle x = -1 geçerli bir köktür.
Adım 3 — Tabanın -1 ve Üssün Çift Tam Sayı Olma Durumu (a = -1)
Taban -1 iken üssün çift sayı olup olmadığını inceleyelim:
x + 2 = -1 \implies x = -3
Üs kontrolü:
x - 1 = -3 - 1 = -4 \quad (\text{çift tam sayı})
(-1)^{-4} = \frac{1}{(-1)^4} = 1
Eşitlik sağlandığı için x = -3 geçerli bir köktür.
Adım 4 — Çözüm Kümesini Belirleme
Denklemi sağlayan değerler kümesi:
\{-3, -1, 1\}
Bu denklemi sağlayan 3 farklı değer vardır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- 0^0 Belirsizliği: Taban ve üs aynı anda sıfır olamaz. Bu nedenle üssü sıfır yapan değerde tabanın sıfırdan farklı olduğu kesinlikle kontrol edilmelidir.
- Negatif Taban: Taban -1 olduğunda, sonucun +1 çıkması için üssün kesinlikle çift tam sayı olması gerekir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Yalnızca üssü 0 yapan değeri veya sadece tabanı 1 yapan değeri bulup tabanın -1 olma durumunu unutmak.- Doğru Yaklaşım: a^b = 1 tipindeki tüm sorularda her üç durumu da ayrı ayrı inceleyip şartları (tabanın sıfır olmaması, üssün çift olması) doğrulamak.
Benzer bir üslü denklem sorusu çözerek bu kuralı pekiştirmek ister misin?