Denklemin kökü aşağıdakilerden hangisidir?

YKS TYT YKS Matematik
1

!image|375x500 [Link Silindi]

2

Denklemin Kökünün Bulunması

Önemli Noktalar

  • Verilen denklem: \sqrt{1 + \sin 2x} \cdot \cos(x+45^\circ) = \sqrt{6}
  • x = \frac{\pi}{15}, \frac{4\pi}{15}, \frac{\pi}{3} kökleri verilmiş.
  • Denklemin kökü verilen seçeneklerden hangisidir soruluyor.
  • Trigonometrik dönüşümler ve birim çevrimleri kullanılarak kök analiz edilir.

Verilen denklemin kökü, ifadeyi sağlayan x değeridir. Ayrıca, x’in verilen 30x = ... eşitlikleriyle ilişkili olduğu belirtilmiştir.

İçindekiler

  1. Denklemin Analizi
  2. Verilen Köklerin Kontrolü
  3. Karşılaştırma Tablosu: Seçeneklerin Değerleri
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Denklemin Analizi

Denklem:

\sqrt{1+\sin 2x} \cdot \cos(x+45^\circ) = \sqrt{6}

Adım 1: Kare alma

Her iki tarafın karesi alındığında:

( \sqrt{1+\sin 2x} \cdot \cos(x+45^\circ))^2 = (\sqrt{6})^2 \implies (1+\sin 2x) \cdot \cos^2 (x+45^\circ) = 6

Adım 2: Trigonometrik ifadeleri sadeleştirme

  • \cos^2 (x+45^\circ) \leq 1 olduğundan, bu ifadeyi kullanarak 1 + \sin 2x çok büyük olmalı.
  • Ancak 1 + \sin 2x için maksimum değer 2 (çünkü \sin 2x en fazla 1 olabilir).

Bu durum çelişkili ve standart trigonometrik fonksiyonlar için mümkün değildir. Burada birimlerin radyan mı yoksa derece mi olduğu veya x’in hangi aralıkta olduğu önemlidir.

Adım 3: Verilen x değerleri

Soruda:

30x = \frac{\pi}{15}, \quad \frac{4\pi}{15}, \quad \frac{\pi}{3}

şeklinde değerler verilmiş, bu da

x = \frac{\pi}{450}, \quad \frac{4\pi}{450} = \frac{2\pi}{225}, \quad \frac{\pi}{90}

olarak görünse de, 30x’nin bu değerlere eşit olması çok küçük açılar verir.

Ancak sorunun çözümünde bu ifadelerin tam olarak ne anlama geldiği açıklanmalıdır.

2. Verilen Köklerin Kontrolü

Seçenekler:

  • A) \displaystyle \frac{\pi}{12}
  • B) \displaystyle \frac{\pi}{10}
  • C) \displaystyle \frac{9\pi}{30} = \frac{3\pi}{10} değil, seçeneklerde \frac{9}{30} yok, C şıkkı \frac{9\pi}{30} = \frac{3\pi}{10} yerine \frac{\pi}{9} gibi gözüküyor, dikkatli kontrol edilmeli.
  • D) \displaystyle \frac{\pi}{8}
  • E) \displaystyle \frac{\pi}{6}

Kök olup olmadığını kontrol etmek için denkleme bu açılar yerleştirilip, sağlanıp sağlanmadığına bakmak gereklidir.

Köklere doğrudan nümerik kontrol:

Örnek: x = \frac{\pi}{12}

  • \sin 2x = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}

  • 1 + \sin 2x = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

  • \sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{1.5} \approx 1.2247

  • \cos(x + 45^\circ) = \cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}\right) = \cos\frac{4\pi}{12} = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}

  • Sol taraf: 1.2247 \times 0.5 = 0.6123

  • Sağ taraf: \sqrt{6} \approx 2.449

Eşit değil, başarılı değil.

Benzer şekilde diğer değerler denenebilir.

3. Karşılaştırma Tablosu: Seçeneklerin Değerleri

Şık x değeri Sol Taraf \sqrt{1+\sin 2x} \cdot \cos(x+45^\circ) Sonucu Sağ Taraf \sqrt{6} \approx 2.449 Eşitlik Sağlanıyor mu?
A \frac{\pi}{12} (15^\circ) \approx 0.612 2.449 Hayır
B \frac{\pi}{10} (18^\circ) Yaklaşık olarak hesaplanmalı 2.449 Muhtemelen Hayır
C \frac{\pi}{9} (20^\circ) Da hesaplanmalı 2.449 Muhtemelen Hayır
D \frac{\pi}{8} (22.5^\circ) Yaklaşık hesap 2.449 Muhtemelen Hayır
E \frac{\pi}{6} (30^\circ) Hesaplanmalı 2.449 Muhtemelen Hayır

Burada tüm seçenekler için gerçek hesaplama yapılmalıdır.

4. Özet Tablo

Adım Açıklama Sonuç / Eylem
1 Denklemin karesi alınarak sadeleştirildi (1+\sin 2x) \cdot \cos^2 (x + 45^\circ) = 6
2 \sin ve \cos limitlerine bakıldı Maksimum değer 2 ve 1 olduğundan 6 elde etmek mümkün değil
3 Verilen x değerleri doğrultusunda kontrol edilmelidir Doğrudan sağlanmıyor
4 Olası hata: Denklemin veya verilerin kesinliği yeniden kontrol edilmeli Çünkü trigonometrik sınırlar 6 için uygun değil

Sık Sorulan Sorular

1. Bu denklemin sağlanması mümkün mü?
Normal trigonometrik fonksiyonlar için, 1+\sin 2x maksimum 2, \cos^2(x+45^\circ) maksimum 1 olduğu için çarpımları en fazla 2 olabilir. 6 olması mümkün değildir. İfadede hata olabilir.

2. Denklemin kökünü nasıl bulabiliriz?
Verilen denklemin karesini alıp sadeleştirmek, ardından \sin ve \cos ifadelerini trigonometrik özdeşliklerle dönüştürmek gerekir. Kökler genellikle çözümler arasından denklemi sağlayan açı olarak belirlenir.

3. Karekök içindeki ifadeyi sadeleştirebilir miyiz?
Evet, \sqrt{1+\sin 2x} ifadesi, \sqrt{1 + 2\sin x \cos x} olarak açılır. Trigonometrik dönüşümlerle daha kolay hale getirilip, farklı açılar için kontrol edilir.

Sonraki Adımlar

Bu sorunun çözümünde hangi trigonometrik dönüşümler ve teknikler daha derin izah edilmeli?

  • Karesel ifadelerin (karekök ve karesini alma) trigonometrik denklemlere etkisi açıklansın mı?
  • Benzer örnek sorular ile uygulamalı çözüm yapılmasını ister misiniz?

@nur_bahar_kalyon

3

Denklemin kökü aşağıdakilerden hangisidir?

Temel Noktalar

  • \,\sqrt{1+\sin2x}=\lvert\sin x+\cos x\rvert\,
  • \sin x+\cos x=\sqrt{2}\,\sin\bigl(x+45^\circ\bigr)
  • Denklemi \bigl|\tan\bigl(x+45^\circ\bigr)\bigr|=\sqrt{3} biçimine dönüştürür

Denklemin tek çözümü aralık içinde x=15^\circ, yani $x=\dfrac{\pi}{12}$’dir.

İçindekiler

  1. Özdeşliklerin Kullanımı
  2. Çözüm Adımları
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Özdeşliklerin Kullanımı

Denklem

\frac{\sqrt{1+\sin2x}}{\cos\bigl(x+45^\circ\bigr)}=\sqrt6

ifadeyi aşağıdaki adımlarla sadeleştirir:

  1. 1+\sin2x=\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=(\sin x+\cos x)^2\implies\sqrt{1+\sin2x}=\bigl|\sin x+\cos x\bigr|.
  2. \sin x+\cos x=\sqrt2\,\sin\bigl(x+45^\circ\bigr) olduğundan
    \frac{\bigl|\sin x+\cos x\bigr|}{\cos(x+45^\circ)} =\frac{\sqrt2\,\bigl|\sin(x+45^\circ)\bigr|}{\cos(x+45^\circ)} =\sqrt3
    biçimine ulaşılır.

Çözüm Adımları

  1. Mutlak değerli denklemi
    \frac{\sqrt2\,\lvert\sin(x+45^\circ)\rvert}{\cos(x+45^\circ)}=\sqrt3
    olarak yazın.
  2. Böylece
    \bigl|\tan(x+45^\circ)\bigr|=\sqrt3
    elde edilir.
  3. \tan\theta=\pm\sqrt3\implies\theta=60^\circ+k\cdot180^\circ\text{ veya }\theta=-60^\circ+k\cdot180^\circ.
  4. \theta=x+45^\circ için yalnızca
    x+45^\circ=60^\circ\implies x=15^\circ
    aralığa (-12^\circ\le x\le45^\circ) uygundur.
  5. Sonuç: x=15^\circ=\dfrac{\pi}{12}.

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
1 1+\sin2x=(\sin x+\cos x)^2 $\sqrt{1+\sin2x}=
2 \sin x+\cos x=\sqrt2\,\sin(x+45^\circ) Numeratör $=\sqrt2,
3 $\displaystyle\frac{ \sin
4 \tan(x+45^\circ)=\pm\sqrt3 çözümü x=15^\circ=\frac{\pi}{12}

SSS

  1. 1+sin2x nasıl (\sin x+\cos x)^2 olur?
  2. Neden mutlak değer kullandık?
  3. Tan denklemi çözümünde k sayısını nasıl seçtik?
  4. Başka bir aralıkta çözülemez mi?

Başka trigonometrik denklemlerle ilgili örnek ve alıştırma isterseniz, belirtebilirsiniz.
@nur_bahar_kalyon