Trigo13-Solution-Explanation
Önemli Noktalar
- Denklemi çözmek için trigonometrik fonksiyonların dönüşümü ve farklı açılarda eşitlikleri kullanılır.
- ( \cos \theta = \sin \alpha ) eşitliğinde, ( \cos \theta = \sin(90^\circ - \theta) ) dönüşümü esastır.
- ( [0, \pi] ) aralığında köklerin bulunması için derece-radyan dönüşümüne dikkat edilmelidir.
Denklem:
[
\cos(5x - 10) = \sin 40^\circ
]
Bu denklemde ( x ) derecedir. ( \cos ) ve ( \sin ) fonksiyonlarının eşit olduğu durumları kullanacağız.
- ( \cos A = \sin B ) eşitliği, ( \cos A = \sin B = \cos (90^\circ - B) ) olarak yazılabilir.
- Bu nedenle:
[
\cos(5x - 10) = \cos(90^\circ - 40^\circ) = \cos 50^\circ
]
Yani:
[
\cos(5x - 10) = \cos 50^\circ
]
( \cos \alpha = \cos \beta ) denkleminde çözümler:
[
5x - 10 = 50^\circ + 360^\circ \cdot k \quad \text{veya} \quad 5x - 10 = -50^\circ + 360^\circ \cdot k, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Buradan iki temel çözüm kümesi çıkar.
Çözüm Adımları
1. Birinci çözüm kümesi:
[
5x - 10 = 50 + 360k
]
[
5x = 60 + 360k
]
[
x = \frac{60 + 360k}{5} = 12 + 72k
]
2. İkinci çözüm kümesi:
[
5x - 10 = -50 + 360k
]
[
5x = -40 + 360k
]
[
x = \frac{-40 + 360k}{5} = -8 + 72k
]
Köklerin ( [0, \pi] ) Aralığında Bulunması
Verilen aralık ( x \in [0, \pi] ) dir. Burada (\pi) radyan olarak verilmiş. Soru genelde derece cinsinden olduğundan ama denklemlerde dereceler kullanılmış. Aralığın dereceden mi radyandan mı olduğuna dikkat etmeliyiz.
( \pi ) radyan (= 180^\circ).
Yani ( x \in [0, 180^\circ] ).
Birinci çözüm kümesinde, (k=0):
[
x = 12^\circ
]
(k=1) ise:
[
x = 12 + 72 = 84^\circ
]
(k=2):
[
x = 12 + 144 = 156^\circ
]
(k=3):
[
12 + 216 = 228^\circ > 180^\circ \text{ (aralık dışında)}
]
Birinci çözüm kümesinde aralıkta bulunan kökler:
[
12^\circ, 84^\circ, 156^\circ
]
İkinci çözüm kümesinde, (k=1):
[
x = -8 + 72 = 64^\circ
]
(k=2):
[
x = -8 + 144 = 136^\circ
]
(k=0):
[
x = -8^\circ <0 \text{ (aralık dışında)}
]
(k=3):
[
x = -8 + 216 = 208^\circ >180^\circ \text{ (aralık dışında)}
]
İkinci çözüm kümesinde aralıkta bulunan kökler:
[
64^\circ, 136^\circ
]
En Küçük İki Kökün Toplamı
Tüm kökler:
[
12^\circ, 64^\circ, 84^\circ, 136^\circ, 156^\circ
]
En küçük iki sayı: 12 ve 64.
Toplamları:
[
12 + 64 = 76^\circ
]
Sonuç:
Doğru cevap A) 76.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| Soru | (\cos(5x - 10) = \sin 40^\circ) | - |
| Dönüşüm | (\cos(5x -10) = \cos 50^\circ) | - |
| Kökler | (x = 12 + 72k), (x = -8 + 72k) | (k \in \mathbb{Z}) |
| Aralık | (x \in [0, 180^\circ]) | - |
| Kökler aralıkta | (12, 64, 84, 136, 156) | - |
| En küçük iki kök | (12, 64) | Toplam = 76 |
Sık Sorulan Sorular
1. Bu tür trigonometrik denklemler nasıl çözülür?
Genellikle trigonometrik fonksiyonların temel dönüşümleri kullanılır (örn. (\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha))). Ardından fonksiyonların periyodikliği ve eşitlik durumları değerlendirilir.
2. Derece ve radyan farkına nasıl dikkat edilir?
Soru hangi birimde olduğuna bakılır. Özellikle ( [0, \pi] ) gibi ifade radyan olabilir. Derece - radyan dönüşümü unutulmamalıdır (( \pi \text{ rad} = 180^\circ )).
3. Kökleri neden (k) parametresi ile genelleyebiliyoruz?
Trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir, eşitlik sonsuz çok kök olabilir. (k) tam sayı ile periyot kadar arttırarak tüm çözümler bulunur.
Sonraki Adımlar
Bu soruyu pekiştirmek için trigonometrik denklemlerde periyot ve açı dönüşümleri konusunu daha derin inceleyelim mi? Yoksa benzer örnek sorular çözmek ister misiniz?
Denklemin [0, π] aralığındaki en küçük iki kökünün toplamı kaç derecedir?
Yerel Kullanıcı İçin Anahtar Çıkarımlar
- sin ve cos dönüşümü: \sin\alpha=\cos(90°-\alpha) veya \cos\alpha=\sin(90°-\alpha)
- Genel çözüm formülü: \cos A=\cos B için A=360k\pm B (derecede)
- [0°, 180°] aralığında uygun k değerleri seçilerek gerçek kökler bulunur
Denklemin [0, π] aralığındaki en küçük iki kökünün toplamı 76°’dir.
İçindekiler
Çözüm Adımları
-
Denklemi yazalım:
$$\cos(5x - 10°) = \sin(40°).$$ -
\sin(40°)=\cos(90°-40°)=\cos(50°) dönüşümünü uygulayın:
$$\cos(5x - 10°)=\cos(50°).$$ -
\cos A=\cos B genel çözümü (derecede):
$$5x-10°=360k\pm50°,\quad k\in\mathbb{Z}.$$ -
İki ayrı durumu ele alalım:
a) 5x-10=50+360k\;\Rightarrow\;x=12+72k
b) 5x-10=-50+360k\;\Rightarrow\;x=-8+72k -
x\in[0°,180°] aralığında k=0,1,2 değerlerini deneyelim:
- k=0\,: x=12°,\;-8° (–8° geçersiz)
- k=1\,: x=84°,\;64°
- k=2\,: x=156°,\;136°
-
Geçerli kökler: 12°,\,64°,\,84°,\,136°,\,156°. En küçük iki değer 12° ve $64°$’tür.
-
Toplam: 12° + 64° = 76°.
Özet Tablosu
| Kök Sırası | Kök Değeri (°) |
|---|---|
| 1. Kök | 12 |
| 2. Kök | 64 |
| Toplam | 76 |
SSS
Q1. cos denklemlerinde neden 360k\pm B formülü kullanılır?
A1. Çünkü cosinüs periyodu 360°’dir ve simetrik bir fonksiyon olduğundan A=B veya A=-B durumları geçerlidir.
Q2. Sinüs ifadesini cosine dönüştürmenin genel formülü nedir?
A2. \sin\alpha=\cos(90°-\alpha) veya \cos\alpha=\sin(90°-\alpha) bağıntıları kullanılır.
Q3. Denklemin diğer kökleri nelerdir?
A3. Diğer geçerli kökler $84°,;136°,;156°$’dır.
Q4. k değeri nasıl seçilir?
A4. x\in[0°,180°] aralığını sağlamak için uygun tam sayı k değerleri test edilir.
Bu formülü pekiştirmek için 3 adet ek pratik soru ister misiniz?
@Abdurrahman2134