Soru:
+ý=4
denklem sisteminin çözüm kümesiní bulunuz.
Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]
Denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4 \\
x^2 \cdot y^2 = 3
\end{cases}
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- (x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 açılımı
- İkinci denklemi x^2y^2 = 3 olarak kullanma
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Birinci denklemi kareye al:
(x^2 + y^2)^2 = 4^2 = 16
Adım 2 — Açılım yap:
x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = 16
Adım 3 — İkinci denklemi kullan:
İkinci denklemden x^2 y^2 = 3,
İkisinin yerine koyarsak:
x^4 + y^4 + 2 \cdot 3 = 16
x^4 + y^4 + 6 = 16
x^4 + y^4 = 10
Adım 4 — x^2 ve y^2 için t = x^2, z = y^2 diyelim:
t + z = 4 \quad (1)
t z = 3 \quad (2)
Adım 5 — t ve z için ikinci dereceden denklem kur:
X^2 - (t + z)X + t z = 0
X^2 - 4X + 3 = 0
Adım 6 — Bu denklemi çöz:
X = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}
X_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3, \quad X_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1
Adım 7 — Yani t = 3, z=1 veya t=1, z=3.
Hatırlayalım t = x^2, z = y^2.
Bu yüzden:
(x^2, y^2) = (3, 1) \quad \text{veya} \quad (1, 3)
Adım 8 — x ve y’yi bulun:
x = \pm \sqrt{3}, \quad y = \pm 1
veya
x = \pm 1, \quad y = \pm \sqrt{3}
Adım 9 — Çözüm kümesi:
\{ (\sqrt{3}, 1), (\sqrt{3}, -1), (-\sqrt{3}, 1), (-\sqrt{3}, -1), (1, \sqrt{3}), (1, -\sqrt{3}), (-1, \sqrt{3}), (-1, -\sqrt{3}) \}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
\boxed{
\left\{
(\pm \sqrt{3}, \pm 1), (\pm 1, \pm \sqrt{3})
\right\}
}
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Denklem sisteminin çözüm kümesini kısaca bulunuz:
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- t = x^2, z = y^2 için
t + z = 4, \quad tz = 3
ÇÖZÜM ADIMLARI:
X^2 - 4X + 3 = 0 \implies X = 3 \text{ veya } X = 1
Buna göre:
(x^2, y^2) = (3, 1) \text{ veya } (1, 3)
Yani:
x = \pm \sqrt{3}, \quad y = \pm 1 \quad \text{veya} \quad x = \pm 1, \quad y = \pm \sqrt{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
\boxed{
\{ (\pm \sqrt{3}, \pm 1), (\pm 1, \pm \sqrt{3}) \}
}
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
x^2 + y^2 = 4 ve x^2 \cdot y^2 = 3 denklemlerinin çözüm kümesini bulunuz
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
İki bilinmeyenli sistemde karelerini yeni değişkene atama: u=x^2,\; v=y^2. İki sayının toplamı ve çarpımı verildiğinde bu sayıların denklemi t^2-(u+v)t+uv=0 biçiminde yazılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sistemi yeni değişkenlerle yaz
x^2 + y^2 = 4
x^2 \cdot y^2 = 3
Adım 2 — Değişken tanımı
u = x^2
v = y^2
Adım 3 — u ve v için denklem kur
u + v = 4
u v = 3
Adım 4 — u (ve v) için karakteristik denklemi yaz
t^2 - 4t + 3 = 0
t^2 - 4t + 3 = (t-1)(t-3)
(t-1)(t-3) = 0
t = 1 \quad \text{veya} \quad t = 3
Adım 5 — (u,v) değerlerini bul
Birinci durum:
u = 1
v = 3
İkinci durum:
u = 3
v = 1
Adım 6 — Her durumda x ve y değerlerini bul
Birinci durum için (u=1, v=3):
x^2 = 1
x = \pm 1
y^2 = 3
y = \pm \sqrt{3}
İkinci durum için (u=3, v=1):
x^2 = 3
x = \pm \sqrt{3}
y^2 = 1
y = \pm 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
Çözüm kümesi
\{(1,\sqrt{3}),(1,-\sqrt{3}),(-1,\sqrt{3}),(-1,-\sqrt{3}),(\sqrt{3},1),(\sqrt{3},-1),(-\sqrt{3},1),(-\sqrt{3},-1)\}.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
-
Değişken dönüşümü
- Tanım: Karmaşık görünen ifadelerde uygun değişken atayarak problemi sadeleştirme.
- Bu problemde: u=x^2,\; v=y^2 alındı ve ikinci dereceden bir denklem elde edildi.
-
Köklerin simetrisi
- Tanım: İki sayının toplamı ve çarpımı biliniyorsa bu sayılar bir ikinci derece denklemin kökleridir.
- Bu problemde: u ve v bu denklemin kökleri olarak bulundu.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşareti unutmak
- Yanlış: x^2=1 için sadece x=1 almak.
- Doğru: x=\pm 1 alınmalıdır.
- Neden yanlış: Kare alma işlemi işareti kaybeder; negatif kök de mümkündür.
- Düzeltme: Her kare denkleminde hem pozitif hem negatif kök kontrol edilmelidir.
(u,v) sıralamasını atlamak
- Yanlış: Sadece u=1,\;v=3 durumu düşünülüp diğer (yer değiştirilmiş) durum unutulur.
- Doğru: Hem (1,3) hem (3,1) durumları değerlendirilmelidir.
- Neden yanlış: x ve y farklı kare değerleri alabilir; sıralama sonucu farklı (x,y) çiftleri verir.
- Düzeltme: Tüm permütasyonları kontrol edin.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Bana sorunun sadece cevabını yaz. uzun açıklama yazma sadece cevapları, doğru cevapları yaz.