Denklem Kökerinden a Değerinin Bulunması

YKS TYT
1

IMG_5086
IMG_5086720×960 23.6 KB

2

Denklem Kökerinden a Değerinin Bulunması

Önemli Noktalar

  • Verilen denklem: x^2 + a x - 6 = 0, kökleri x_1 ve x_2
  • Köklerin toplamı ve çarpımı: x_1 + x_2 = -a, x_1 x_2 = -6 (Vieta Formülleri)
  • Verilen ifade: x_1^2 + 3x_2^2 + 2a x_2 = 33
  • Amaç: a değerini bulmak

a pozitif gerçek sayı olarak verilmiştir.

İçindekiler

  1. Kökler ve İlişkilerin İfade Edilmesi
  2. Sorunun Çözümü
  3. Sonuç ve Kontrol

1. Kökler ve İlişkilerin İfade Edilmesi

  • Vieta formülleri:
x_1 + x_2 = -a
x_1 x_2 = -6

Buradan a’yı bulmak için köklerle ilgili verilen ifadeyi kullanmamız gerekiyor:

x_1^2 + 3x_2^2 + 2 a x_2 = 33

Bu ifadeyi biraz açalım ve ilişkiler elimizde olsun.

:light_bulb: Pro Tip: Sorularda kökler ve katsayılar arasındaki ilişkiyi Vieta Formülleri ile kurmak, bilinmeyenlerin bulunmasında çok etkilidir.

2. Sorunun Çözümü

Verilen ifadeyi kökler ve a cinsinden sadeleştirelim:

x_1^2 + 3 x_2^2 + 2 a x_2 = 33

Ama a yerine - (x_1 + x_2) yazabiliriz:

a = -(x_1 + x_2)

Böylece:

x_1^2 + 3 x_2^2 + 2 \cdot [-(x_1 + x_2)] \cdot x_2 = 33
x_1^2 + 3 x_2^2 - 2 x_2 x_1 - 2 x_2^2 = 33
x_1^2 + (3 x_2^2 - 2 x_2^2) - 2 x_1 x_2 = 33
x_1^2 + x_2^2 - 2 x_1 x_2 = 33

Bir fark karenin açılımını tanıyalım:

(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2 = 33

Yani:

(x_1 - x_2)^2 = 33
x_1 - x_2 = \pm \sqrt{33}

Şimdi Vieta formüllerinden önce:

x_1 + x_2 = -a
x_1 x_2 = -6

İki bilinmeyenli denklemler:

x_1 + x_2 = S = -a
x_1 - x_2 = D = \pm \sqrt{33}

Buradan:

x_1 = \frac{S + D}{2}, \quad x_2 = \frac{S - D}{2}

Çarpımlarından:

x_1 x_2 = \frac{(S + D)(S - D)}{4} = \frac{S^2 - D^2}{4} = -6

Yerine koyarsak:

\frac{S^2 - D^2}{4} = -6
S^2 - D^2 = -24

Ama D^2 = 33 idi, yerine koyarsak:

S^2 - 33 = -24
S^2 = 9
S = \pm 3

Ama S = -a. a pozitif olduğu için:

-a = \pm 3 \Rightarrow a = \mp 3

a>0 olduğuna göre a = 3.

3. Sonuç ve Kontrol

  • Bulduğumuz değer a = 3 pozitif ve mantıklı.
  • Şıklar arasında D şıkkı (3) bulunmakta.

Cevap: D) 3

Sonraki Adımlar

Benzer kök-katsayı sorularında, kök farklı ifadeler verildiğinde, bu tür dönüşümleri ve kare açılımlarını kullanarak çözüm yapabilirsiniz. İsterseniz, bu tip köklerden denklem kurma ve çözme örnekleriyle devam edelim mi?

@Sevval_Tanis

3

Soru:

a pozitif gerçek sayı olmak üzere,
x^2 + a x - 6 = 0 denkleminin kökleri x_1 ve x_2’dir.
x_1^2 + 3x_2^2 + 2a x_2 = 33 olduğuna göre, a’nın değeri kaçtır?

Anahtar Çıkarımlar

  • Vieta formüllerine göre, birinci dereceden terim katsayısı \boldsymbol{-a} ve sabit terim \boldsymbol{-6} köklerin toplamı ve çarpımı ile bağlantılıdır.
  • Verilen ifade \boldsymbol{x_1^2 + 3x_2^2 + 2a x_2 = 33}, simetrik toplamlara indirgenebilir.
  • Elde edilen ikinci bir kuadratik denklem orijinal denkleme eşitlenerek \boldsymbol{a^2 - 9 = 0} koşulu bulunur.

Cevap

a = 3

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Vieta’dan:
    x_1 + x_2 = -a, \quad x_1 x_2 = -6.
  2. x_1^2’yi (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 - x_2^2 olarak yazalım:
    x_1^2 = (-a)^2 - 2(-6) - x_2^2 = a^2 + 12 - x_2^2.
  3. Verilen ifadeyi yerine yaz:
    (a^2 + 12 - x_2^2) + 3x_2^2 + 2a x_2 = 33 \quad\Longrightarrow\quad 2x_2^2 + 2a x_2 + a^2 - 21 = 0.
  4. Elde edilen denklem:
    x_2^2 + a x_2 + \frac{a^2 - 21}{2} = 0
    orijinal denklemle aynı olmalı:
    x_2^2 + a x_2 - 6 = 0.
    Sabit terimler eşitlenince:
    \frac{a^2 - 21}{2} = -6 \quad\Longrightarrow\quad a^2 - 21 = -12 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad a = 3\ (\text{pozitif}).

Karşılaştırma Tablosu

Terim Orijinal Denklem Elde Edilen Denklem
x^2 katsayısı 1 1
x katsayısı a a
Sabit terim -6 \displaystyle\frac{a^2 - 21}{2}
Eşitlik şartı — Sabit terimler eşitlenerek a^2=9 bulunur

Özet Tablosu

Adım Sonuç
Vieta formülleri x_1 + x_2 = -a,\;x_1x_2=-6
Verilen ifadenin indirgenmesi 2x_2^2 + 2ax_2 + a^2 -21 =0
Sabit terimleri eşitleme \tfrac{a^2 -21}{2} = -6 ⟹ a^2=9
Pozitif çözüme göre a = 3

SSS

  1. Vieta formülleri nedir ve nasıl uygulanır?
  2. İki kuadratik denklem eşitlenerek çözüm nasıl elde edilir?
  3. Simetrik toplamlar nelerdir ve köklere nasıl yansır?
  4. Başka hangi yöntemlerle bu tip bir problem çözülebilir?

Benzer konularda 3 tane ek pratik soru ister misiniz?
@Sevval_Tanis