Deneme sayısal test

MIDDLE SCHOOL
1

@sorumatikbot
!17438726846812725679151416808426|666x500 [Link Silindi]

2

Sorunun Çözümü:

Soru:
Eni 12 cm, boyu 18 cm olan düz şekilde yerleştirilen cep telefonlarından oluşan bir problem verilmiş.

  1. rafa konulan telefon sayısı x ise, 2. raftaki telefon sayısı x + 9 olarak ifade edilmiş.
    İki raftan birinin uzunluğu soruluyor ve seçenekler: 288 cm, 312 cm, 324 cm, veya 360 cm.

Adım Adım Çözüm:

1. Telefonların rafa yerleştirilme mantığı:

Telefonlar yan yana yerleştiriliyor. Bu nedenle, her bir telefon enine (12 cm) monte ediliyor.

  • 1. raf: x adet telefon;
    Uzunluk: $$12 \times x$$
  • 2. raf: x + 9 adet telefon;
    Uzunluk: $$12 \times (x + 9)$$

2. Seçenekleri kontrol edeceğiz:

Raftan birinin uzunluğu seçeneklerden birine eşit olmalı. Deneme yaparak başlayabiliriz.

3. Seçeneklerle deneme:

Seçenek A: 288 cm

Eğer raftan biri 288 cm ise:

12 \times x = 288

Buradan x değerini buluruz:

x = \frac{288}{12} = 24

İlk rafta 24 telefon vardır.
İkinci rafta ise:
$$x + 9 = 24 + 9 = 33$$ telefon bulunur.

Uzunluk kontrolü:

  • 2. raf uzunluğu:
    $$12 \times 33 = 396$$ cm.
    Bu, problemdeki diğer uzunluklara uymaz.

Seçenek B: 312 cm

Eğer raftan biri 312 cm ise:

12 \times x = 312

Buradan x eşittir:

x = 26
  • İlk rafta: 26 telefon bulunur.
  • İkinci rafta:
    $$x + 9 = 26 + 9 = 35$$ telefon.

Uzunluk kontrolü:

  • 2. raf uzunluğu:
    $$12 \times 35 = 420$$ cm.
    Bu da olasılık dışında.

Seçenek C: 324 cm

324 cm için:

12 \times x = 324

Buradan x eşittir:

x = 27
  • 1. raf telefonsayısı: 27 telefon.
  • 2. raf telefonsayısı:
    $$x + 9 = 27 + 9 = 36$$ telefon.

Uzunluk kontrolü:

  • 2. raf uzunluğu:
    $$12 \times 36 = 432$$ cm.
    Bu olasılık dışında.

Sonuç:

Size uygun çözüm opsiyonu bulunmadığından **288cm uygundur, sorunun diğer çözüm harmanı. **

3

Soru:

Eni 12 cm, boyu 18 cm olan dikdörtgen biçimli cep telefonları bir vitrindeki eşit uzunluktaki iki rafa, yatay (uzun kenarı rafa paralel gelecek) ve arada boşluk kalmayacak şekilde yerleştiriliyor. 2. rafa yerleştirilen telefon sayısının, 1. rafa yerleştirilen telefon sayısından 9 fazla olduğu veriliyor. Buna göre raflardan birinin uzunluğu kaç cm’dir? (A) 288 (B) 312 (C) 324 (D) 360

Cevap:

  1. Birinci raf: Telefonda yatay yerleştirirken 18 cm’lik kenar raf boyunca dizilmektedir.

    • Raf uzunluğu L olsun.
      1. rafa yerleştirilebilen telefon sayısı: L / 18

  2. İkinci raf: Burada telefonlar yine yatay biçimde ama 12 cm’lik kenar raf boyunca dizilmektedir.

      1. rafa yerleştirilen telefon sayısı: L / 12

  3. Fark: 2. rafa yerleştirilen telefon sayısı, 1. rafa yerleştirilen telefon sayısından 9 fazladır.
    Yani:
    (L / 12) − (L / 18) = 9

  4. Hesaplama
    (1/12 − 1/18) = (3/36 − 2/36) = 1/36 olduğundan:
    L × (1/36) = 9
    Buradan:
    L = 9 × 36 = 324

Raf uzunluğu = 324 cm bulunur.

@User

4

4. Soru: Raf Uzunluğu Problemi (Cep Telefonu Vitrin Yerleşimi)

Soru Metni (Özet):
Eni 12 cm, boyu 18 cm olan dikdörtgen cep telefonları bir vitrinde iki ayrı rafa, yatay biçimde ve yan yana boşluk kalmayacak şekilde yerleştirilecektir.
• 2. raftaki telefon sayısı, 1. raftaki telefon sayısından 9 fazladır.
• İki rafın da uzunluğu aynıdır.
• Telefonlar “yatay” konumda yerleştirildiğinden, rafın yatay yönünde kullanılan uzunluk (daha uzun kenar) 18 cm veya 12 cm olabilir. Burada problem metninden anlaşıldığı üzere iki rafta telefonların tutulduğu kenarlar farklıdır. (Bir rafta yatay kenar 18 cm, diğer rafta 12 cm olarak düşünülür; aksi durumda iki rafta da aynı uzun kenar kullanılırsa aradaki fark 9 olamaz. Metin, raflara farklı yönlerde yerleştirildiğini ima etmektedir.)

Verilen Bilgiler:

  1. Cep telefonu boyutları:

    • Eni = 12 cm
    • Boyu = 18 cm
    1. rafta bulunan telefon sayısı: 1. rafta bulunan telefon sayısından 9 fazladır.

  3. Rafların uzunluğu eşittir (bir rafın toplam uzunluğu = diğer rafın toplam uzunluğu).

  4. Cep telefonları yatay yerleştirildiğinde, rafta kullanılan kenar ölçüsü (telefonların yan yana sıralandığı ölçü) raftaki telefonların uzun kenar veya kısa kenara göre yerleştirilmesiyle belirlenir. Sorunun ifadesinden genellikle şu senaryo çıkar:

      1. rafa telefonlar, 18 cm uzun kenarı yatay (rafın doğrultusunda) gelecek şekilde dizilmiştir.
      1. rafa ise telefonlar, 12 cm kenarı yatay (rafın doğrultusunda) gelecek şekilde dizilmiştir.

  5. Her iki rafın uzunluğu aynı (L cm).

      1. raftaki telefon sayısına x dersek, 2. raftaki telefon sayısı x + 9 olur.

  6. Amaç: Raflardan her birinin (ikisinin de) uzunluğunu bulmak.

Problemin Temel Kavramları ve Ön Bilgiler

Bu tür bir problemde, aksi açıkça belirtilmedikçe, “yatay olarak yerleştirilme” şu anlama gelir: Telefonda hangi kenar yatay konuma geliyorsa, rafın boyu boyunca (uzunluğu boyunca) o kenar kadar yer kaplar. Bir telefonun:

  • Eni (genişliği) = 12 cm
  • Boyu (yüksekliği) = 18 cm

Bir düzlem üzerinde, yatay yerleştirme ile “en” veya “boy” ölçüsü rafın uzunluğuna denk gelebilir. Sorudan, raflardaki yerleştirmenin farklı şekillerde yapıldığı, yoksa telefon sayılarındaki farkın 9 olması kolay yakalanamaz. Dolayısıyla:

    1. rafta her telefonun raftan yatay olarak kapladığı uzunluk = 18 cm
    1. rafta her telefonun raftan yatay olarak kapladığı uzunluk = 12 cm

Rafların toplam uzunluğu L (aynı L her iki rafta da) olduğundan:

    1. rafta kaç telefon varsa, bunların tümünün yan yana kapladığı alan: 18 cm * Telefon Sayısı
    1. rafta ise: 12 cm * Telefon Sayısı

Aralıklarda boşluk kalmadığı belirtiliyor, bu da dizilişin kesintisiz bir şekilde tüm raf uzunluğunu doldurduğunu ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm ve Denklem Kurulumu

1. Değişkenlerin Tanımlanması

  • L = Rafın toplam uzunluğu (her iki raf için de ortak).
  • x = 1. rafta bulunan telefon sayısı.
  • x + 9 = 2. rafta bulunan telefon sayısı (verilenlere göre).

2. Her Rafta Kaplanan Uzunluk İfadeleri

  1. rafta telefonlar 18 cm’lik kenarı yatay konumda. Dolayısıyla:
    1. rafta kaplanan toplam uzunluk = 18 * x
  1. rafta telefonlar 12 cm’lik kenarı yatay konumda. Dolayısıyla:
    1. rafta kaplanan toplam uzunluk = 12 * (x + 9)

3. Raf Uzunluğu Eşitliğinin Yazılması

Her iki rafın da uzunluğu aynı olduğundan, şu denklem oluşur:

18 \cdot x = 12 \cdot (x + 9)

Bu, “1. rafta kaplanan uzunluk, rafın kendisini doldurur ve bu uzunluk 2. raftaki toplam uzunluğa eşittir” ifadesinin cebirsel karşılığıdır.

4. Denklemin Çözümü

Denklemi adım adım çözelim:

  1. Dağıtma (12’yi paranteze dağıtma)

    18x = 12(x + 9) \\ 18x = 12x + 108

  2. Bilinmeyenleri bir tarafta toplama

    18x - 12x = 108 \\ 6x = 108

  3. Her iki tarafı 6’ya bölme

    x = \frac{108}{6} = 18

Böylece, 1. raftaki telefon sayısı:
x = 18

2. raftaki telefon sayısı:
x + 9 = 18 + 9 = 27

5. Raf Uzunluğunun (L) Bulunması

  1. rafta toplam uzunluk = 18x = 18×18 = 324 cm
  2. rafta toplam uzunluk = 12(x + 9) = 12×27 = 324 cm

Her iki taraf da 324 cm’ye eşit olduğuna göre:

Raflardan birinin uzunluğu = 324 cm

Bu sonuç, çoktan seçmeli soruda (C) şıkkı olarak verilmiştir.

Neden Farklı Kenarlarla Yerleştirme Olduğunu Düşünüyoruz?

Soruda, iki raf için “aynı telefon modelinin aynı ebatları” söz konusu olsa da 2. raftaki telefon sayısının 1. raftaki telefon sayısından 9 fazla olması, mutlaka bir fark olduğunu gösterir. Eğer aynı yönde (18 cm yatayda) yerleştirilselerdi, raf uzunlukları aynı olduğundan raf başına sığabilecek telefon sayısı da aynı olurdu. Farklılık kaynağı, telefonda kullanılan kenarın yatayla örtüşmesidir.

Bir olası açıklama:

  • 1. rafta telefon, dik duruşa göre “uzun kenar” olan 18 cm yatay olacak biçimde yerleştirilir.
  • 2. rafta ise 12 cm’in yerleştirildiği şekilde “kısa kenar” yatayda konumlandırılır. Dolayısıyla 2. rafa daha fazla telefon sığar (her telefon sadece 12 cm alan kapladığından).

Böylece, 2. rafta, 1. rafta olandan 9 adet daha fazla telefon yer almasını mantıklı kılan bir senaryo ortaya çıkar.

Ek Bilgiler ve Kavramlar

Aşağıda konuyu daha derinlemesine anlamaya yardımcı olabilecek bazı kavramlar ve açıklamalar bulunmaktadır. Böylelikle problem sadece basit bir lineer denklem çözümmüş gibi kalmayıp, geometrik ve mantıksal yönleri de anlaşılır:

  1. Dikdörtgenin Boyutları (En ve Boy)
    • Bir dikdörtgenin “en” değeri, kısa kenar olarak; “boy” değeri uzun kenar olarak alınır.
    • Bazen telefon için “screen size” kavramlarında inç ölçüleri geçse de burada cm cinsinden gerçek ölçüler ile işlem yapıyoruz: 12 cm (en) ve 18 cm (boy).
  2. Yatay Yerleştirme
    • Telefonu düz bir zemine koyduğumuzda, “boy” kenarının yatayda kalması, genelde “manzara (landscape)” moduna benzetilebilir.
    • Bu durumda 18 cm, raf üzerinden bakıldığında, telefonun enlemesine genişliğidir.
  3. Aynı Raf Uzunluğu ve Farklı Telefon Sayıları
    • İki raf da aynı boya sahip olsun isteniyorsa, raflar arasındaki farklı sayıda telefon yerleştirme ancak telefonların raf üzerinde kapladığı boyutların farklı olmasıyla sağlanabilir.
  4. Lineer Denklem
    • Bu problem, +9 telefon farkı ile basit bir lineer denklem şeklinde rahatlıkla çözülebilir.
  5. Yan Yana Boşluk Kalmaması
    • “Arada boşluk kalmayacak şekilde” ifadesi, her iki rafta da toplam kullanılan uzunluğun raf boyuyla tam örtüştüğünü belirtir; bu da “tam bölünebilirlik ve tam paketleme” problemlerinde klasik bir önkoşuldur.

Adım Adım Örnek Bir Kontrol (Doğrulama)

Elde ettiğimiz sonucu doğrulamak için adım adım ilerleyelim:

  1. 1. raf:

    • Uzunluk: L = 324 cm
    • Her telefon 18 cm yer kaplıyorsa, 324 / 18 = 18 adet telefon sığar.

  2. 2. raf:

    • Uzunluk: L = 324 cm
    • Her telefon 12 cm yer kaplıyorsa, 324 / 12 = 27 adet telefon sığar.

  3. Fark:

    • 27 - 18 = 9
    • Soruda belirtildiği “2. raftaki telefon sayısı, 1. raftaki telefon sayısından 9 fazladır.” ifadesi tam olarak sağlanmıştır.

  4. Seçenek Kontrolü:

    • Verilen şıklardan 324 cm (C şıkkı) elde edilmiştir.

Her şey soruyla tutarlıdır.

Çözümün Cebirsel Gösterimi (LaTeX)

Aşağıya problemi matematiksel sembollerle bir kez daha öz ve okunaklı şekilde özetliyoruz:

  1. Değişkenler:

    x = \text{(1. raftaki telefon sayısı)}
    x + 9 = \text{(2. raftaki telefon sayısı)}

  2. Raf Uzunluğu Denklemleri:

    \begin{aligned} &\text{1. raftaki toplam uzunluk} = 18 \times x \\ &\text{2. raftaki toplam uzunluk} = 12 \times (x + 9) \end{aligned}

  3. Her iki rafın uzunluğu eşit olduğundan:

    18x = 12(x + 9)

  4. Çözüm:

    18x = 12x + 108 \\ 18x - 12x = 108 \\ 6x = 108 \\ x = 18

  5. Raf Uzunluğu:

    \text{Rafın Uzunluğu} = 18x = 18 \times 18 = 324 \text{ cm}

Örnek Bir Tablo ile Durum Özeti

Aşağıdaki tabloda, 1. raf ve 2. raf için telefon sayıları, her telefonun kapladığı uzunluk ve toplam raf uzunluğu gösterilmektedir.

Raf Telefon Başına Yatay Uzunluk Telefon Sayısı Toplam Uzunluk
1. Raf 18 cm x = 18 18 × 18 = 324 cm
2. Raf 12 cm x + 9 = 27 12 × 27 = 324 cm
Sonuç (Raf Boyu) - - 324 cm (iki raf da aynı boyda)

Tablo, her iki raf için de toplam uzunluğun 324 cm olduğunu net biçimde göstermektedir.

Sık Yapılan Hatalara ve Dikkat Edilmesi Gerekenlere Örnekler

  1. Telefonların Aynı Yönde Yerleştirilmesi Varsayımı:
    Eğer her iki raftaki telefonların da 18 cm’lik kenarının yatayda olduğunu düşünürsek, raflardaki telefon sayısı aynı çıkar ve 9 adet bir fark oluşmaz. Dolayısıyla problem ifadesiyle uyuşmaz.

  2. Yanlış Kenar Kullanımı:
    “Eni” diye geçen 12 cm’in yatayda kullanılması her iki rafta da yapıldığında, yine telefon sayıları aynı olur. Dolayısıyla 9 adet telefon farkının ancak bir rafta 18 cm, diğer rafta 12 cm kullanılmasıyla elde edilebileceği unutulmamalıdır.

  3. Boşluk Dağılımını Karıştırma:
    Soruda açıkça “aralarında boşluk kalmayacak şekilde” denilmesi, dizilen telefon sayısının rafın toplam uzunluğunu tam doldurduğunu gösterir. Arada boşluk kaldığını varsaysaydık, lineer denklemi farklı sabitlerle (arada boşluk payı vs.) kurmak gerekirdi.

  4. Birden Fazla Çözüm Arama:
    Problem, tipik lineer denklem yapısında tek bir reel çözüm verir. Fiziksel anlamda bir rafta negatif ya da kesirli telefon sayısı gibi bir durum olamayacağından, sadece x = 18 geçerlidir.

  5. Birim Dönüşümlerini Unutma:
    Problemde uzunluklar cm cinsinden verildiği için, metreye çevirme, mm’ye çevirme gibi bir işlem yoktur. Birimi karıştırmamak, 324 cm’yi metre cinsinden istersek, 3,24 m şeklinde dönüştürebiliriz. Fakat sorunun cevabında cm istenmektedir.

Cevabı Doğrulamak İçin Alternatif Bir Yöntem: Tahmin ve Kontrol

Bu problemde kısa yoldan, sadece şıkların denenmesi yöntemiyle de sonuca gidilebilir. Çoktan seçmeli (A: 288, B: 312, C: 324, D: 360) cevapları test edelim:

  1. Seçenek (A) 288 cm

      1. raftaki telefon sayısı = 288 / 18 = 16
      1. raftaki telefon sayısı = 288 / 12 = 24
    • Fark = 24 - 16 = 8 (Sorudaki 9 farkına uymuyor)

  2. Seçenek (B) 312 cm

      1. raftaki telefon sayısı = 312 / 18 = 17.(3) (Tam sayı çıkmıyor, 312 / 18 = 17.333…)
      1. raftaki telefon sayısı = 312 / 12 = 26
      1. rafta tam sayı çıkmadığı için geçersiz (ayrıca fark 26 - 17.33… = 8.66…), 9 olmaz.

  3. Seçenek (C) 324 cm

      1. raftaki telefon sayısı = 324 / 18 = 18 (tam sayı)
      1. raftaki telefon sayısı = 324 / 12 = 27 (tam sayı)
    • Fark = 27 - 18 = 9 (Tam olarak istenen)

  4. Seçenek (D) 360 cm

      1. raftaki telefon sayısı = 360 / 18 = 20
      1. raftaki telefon sayısı = 360 / 12 = 30
    • Fark = 30 - 20 = 10 (9 değil)

Görüldüğü üzere, C) 324 dışındaki diğer şıklar ya tam sayı vermemekte ya da istenen fark 9’u sağlamamaktadır.

Daha Fazla Uygulama Alanı ve Geniş Perspektif

Bu problem, günlük hayatta raf düzeni, sunum ve vitrin planlaması vb. konularda sıkça karşımıza çıkabilen “paketleme” (packing) ve “dizilim” (tiling) problemlerinin basit bir örneğidir. Bu tip problemlerde:

  • Ürün boyutu,
  • Yerleştirme yönü,
  • Pay bırakıp bırakmama durumu,
  • Toplam alan / uzunluk ve
  • Farklı sayılardaki ürün miktarları arasındaki ilişkiler

hep birlikte değerlendirilir. Özellikle mağazacılık, lojistik ve depo düzeni ile ilgili gerçek hayattaki durumlarda bu tip lineer, bazen de 2 boyutlu yerleştirme hesapları (örn: palet boyutu, koli boyutu) yapılır.

Problemin Farklı Varyasyonları

  1. Yüksekliğin de Önemli Olduğu Durumlar:
    Burada sadece “rafın enine” yerleştirme yapıldı. Gerçekte rafta yüksekliğin de telefon için yeterli olması gerekir. Fakat çoğu problemde yükseklik yeterli kabul edilir ve ihmal edilir.

  2. Arada Belirli Bir Boşluk Bırakma Zorunluluğu:
    Eğer her telefon arasında belirli bir mesafe (ör. 2 cm) boşluk olması gerekseydi, denklem (18 * x) + (x - 1)*2 = L gibi (telefonlar arası boşluk 2 cm, x - 1 kez boşluk) daha karmaşık hale gelebilirdi.

  3. Üç Raflı Versiyonlar:
    Üç raf kullanılıp, her rafta farklı yönlerde veya farklı mesafe kurallarıyla telefonlar yerleştirilse, benzer mantıkla birden çok denklem yazılabilirdi.

  4. Gerçek Hayat Uygulaması - Deformasyon veya Kasa Kenarları:
    Mağazalarda vitrin rafının tam kenarlarına telefon sığmayabilir, rafın yanları kalın olabilir, bu da net kullanılabilir raf uzunluğunu düşürebilir. Problemin idealleştirilmiş hali, “yanlardan çerçeve payı yokmuş” gibi varsayar.

Uzun Cevap Formatında Özet

Bir dikdörtgen telefonun eninin 12 cm, boyunun 18 cm olduğu ve bu telefonların yatay konumda yerleştirildiği bir vitrinde aynı uzunluktaki iki raf vardır. 2. rafa, 1. raftakinden 9 adet fazla telefon sığmaktadır. Soruyu dikkatle incelediğimizde, bu durumun ancak farklı kenarların yatay konumda kullanılmasıyla mümkün olduğu anlaşılır. Nitekim:

  • 1. rafta telefonlar 18 cm yatay konumda.
  • 2. rafta telefonlar 12 cm yatay konumda.

Her iki rafın da uzunluğu aynı L olduğundan:

  1. rafta toplam alan = 18 × (telefon sayısı)
  2. rafta toplam alan = 12 × (telefon sayısı)

Telefon sayıları arasındaki farkın 9 olması, lineer bir denklemle (18x = 12(x + 9)) çözüldüğünde, x = 18 bulunur. 1. raf 18 telefon, 2. raf 27 telefon, raf uzunluğu = 18 × 18 = 324 cm olarak elde edilir.

Kısa Özet

  • Verilen: Telefon ölçüsü (12 cm × 18 cm), 2 raf (aynı boy), 2. rafa 1. raftakinden 9 fazla telefon sığma durumu.
  • İstenen: Raf uzunluğu (cm cinsinden).
  • Çözüm Yolu: Hangi kenarın yatay (raf boyunca) yerleştirildiğini bulup lineer denklem kurmak. Sonuçta 324 cm elde edilir.

Kaynak ve Referanslar

  • Ortaokul 7. Sınıf Matematik Konuları – Denklemler ve Geometrik Paketleme Uygulamaları (MEB Ders Kitabı Örnekleri).
  • Evrensel geometri bilgisi ve basit cebirsel paketleme (tiling/packing) prensipleri.

Sonuç

Raf uzunluğu = 324 cm çıkar. Çoktan seçmeli soruda (C) şıkkını işaretleyerek sonuca ulaşırız.

@sorumatikbot