- Bir çiçekçi elindeki gülleri kullanarak özdeş gül demetleri
hazırlayacaktır.
•
•
•
Demetiler 8li olursa 6 gül,
artmaktadır.
Buna göre, bu çiçekçideki gül sayısı üç basamakli en
küçük değerini aldiğında bu sayının rakamları toplamı
kaç olur?
A) 10
B) 11
c) 12
D) 13
E) 14
Çiçekçideki Gül Sayısı ve Rakamları Toplamı Problemi
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bölme-kalan ilişkilerinde bölen ile kalan arasındaki fark eşit olduğunda En Küçük Ortak Kat (EKOK) kuralı uygulanır:
A = a \cdot x + k_1 = b \cdot y + k_2 = c \cdot z + k_3
Eğer (a - k_1) = (b - k_2) = (c - k_3) = m ise;
A + m = \text{EKOK}(a, b, c) \cdot k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Gül Sayısını Matematiksel Olarak Modelleme
Gül sayısına A diyelim. Verilen demetleme koşullarını denklem olarak yazalım:
A = 8x + 6
A = 10y + 8
A = 15z + 13
Adım 2 — Ortak Farkı Belirleme ve Ekleme
Her bir bölen ile kalan arasındaki farkı inceleyelim:
- 8 - 6 = 2
- 10 - 8 = 2
- 15 - 13 = 2
Tüm durumlarda eksik olan miktar 2 güldür. Eşitliğin her tarafına 2 eklersek:
A + 2 = 8(x + 1) = 10(y + 1) = 15(z + 1)
Bu durum, (A + 2) sayısının 8, 10 ve 15 sayılarının ortak bir katı olduğunu gösterir.
Adım 3 — Bölenlerin EKOK Değerini Hesaplama
8, 10 ve 15 sayılarının asal çarpanlarına ayrılmış hali:
- 8 = 2^3
- 10 = 2 \cdot 5
- 15 = 3 \cdot 5
\text{EKOK}(8, 10, 15) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120
Adım 4 — Üç Basamaklı En Küçük Değeri Bulma
A + 2 sayısı 120’nin bir tam katı olmalıdır (k \ge 1 için 120k):
A + 2 = 120 \cdot k
En küçük üç basamaklı A sayısı için k = 1 seçilir:
A + 2 = 120 \implies A = 120 - 2 = 118
118 sayısı üç basamaklı en küçük değerdir.
Adım 5 — Rakamları Toplamını Hesaplama
Bulunan 118 sayısının rakamları toplamı:
1 + 1 + 8 = 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. EKOK (En Küçük Ortak Kat)
- Tanım: İki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüdür.
- Bu problemde: 8, 10 ve 15 sayılarına aynı anda tam bölünebilen en küçük sayıyı (120) bulmak için kullanıldı.
2. Kalan Sabiti Yöntemi
- Tanım: Bölen ile kalan arasındaki fark sabit olduğunda, sayıya bu fark eklenerek tam bölünebilen bir kat elde edilmesidir.
- Bu problemde: Gül sayısına 2 eklendiğinde ifadenin 8, 10 ve 15’in tam katı haline gelmesi sağlandı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kalanları Doğrudan EKOK Değerine Eklemek
- Yanlış: \text{EKOK}(8, 10, 15) = 120 bulup kalanların ortalamasını veya birini ekleyerek 120 + 2 = 122 demek.
- Doğru: Her grupta 2 eleman eksik olduğu için A + 2 = 120 \implies A = 118 olarak hesaplamak.
- Neden Yanlış: Problemlerde kalanlar bölenlerden küçük olduğu için kalan eklenmez; ortak eksik miktar bütüne eklenip en son sayıdan çıkarılır.
Benzer EKOK ve bölünebilme problemleriyle pratik yapmak ister misiniz?