Deltoid biçimindeki iki eş uçurtmanın köşegenleri üzerine çıtalar yerleştirilmiş ve bu çıtaların birer tanesi aynı hizada yere paralel olacak biçimde asılmıştır.
Uzunlukları toplamı 70 birim olan bu çıtaların yere olan uzaklıkları 6 ve 40 birimdir.
Uçurtmanın kenarlarından biri, diğerinden 26 birim uzun olduğuna göre, bir uçurtmanın çevresi kaç birimdir?
A) 200
B) 148
C) 112
D) 108
E) 96
Deltoidde Köşegen Özellikleri ve Pisagor Teoremi ile Çevre Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Deltoidde simetri ekseni olan köşegen, diğer köşegeni dik keser ve iki eşit parçaya böler. Deltoidin kenar uzunlukları, dik kesişen köşegen parçalarının oluşturduğu dik üçgenlerde Pisagor Teoremi (a^2 + b^2 = c^2) uygulanarak bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Köşegen Uzunluklarının Belirlenmesi
Eş iki deltoidin üst uçları aynı hizada asıldığından, asıldıkları noktanın yerden yüksekliğine H diyelim. Deltoidlerin dikey çıtaları, uçurtmaların iki farklı köşegenini temsil eder:
-
- çıtanın uzunluğu: e = H - 6
-
- çıtanın uzunluğu: f = H - 40
Çıtaların uzunlukları toplamı 70 birim olarak verildiğinden:
(H - 6) + (H - 40) = 70 \implies 2H - 46 = 70 \implies H = 58\text{ birim}
Buradan deltoidin köşegen uzunlukları bulunur:
e = 58 - 6 = 52\text{ birim (simetri ekseni köşegeni)}
f = 58 - 40 = 18\text{ birim (diğer köşegen)}
Adım 2 — Kenar Uzunluklarının Hesaplanması
18 birimlik köşegen, 52 birimlik simetri ekseni tarafından iki eşit parçaya ayrılır:
\frac{18}{2} = 9\text{ birim}
52 birimlik köşegen, yatay çıta tarafından a ve b olmak üzere iki parçaya ayrılır (a + b = 52). Oluşan dik üçgenlerden deltoidin kenarları (c_1 ve c_2):
c_1 = \sqrt{9^2 + a^2}
c_2 = \sqrt{9^2 + b^2}
İki kenar arasındaki fark c_2 - c_1 = 26 birimdir. Kenarları tam sayı olan özel dik üçgenler incelendiğinde (9 - 12 - 15 ve 9 - 40 - 41 üçgenleri):
- a = 12\text{ birim} \implies c_1 = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15\text{ birim}
- b = 40\text{ birim} \implies c_2 = \sqrt{9^2 + 40^2} = 41\text{ birim}
Şartlar kontrol edildiğinde:
a + b = 12 + 40 = 52\text{ birim}
c_2 - c_1 = 41 - 15 = 26\text{ birim}
değerleri problemi tam olarak sağlar.
Adım 3 — Deltoidin Çevresi
Deltoidin çevresi ikişer adet c_1 ve c_2 kenarının toplamıdır:
\text{Çevre} = 2 \times (c_1 + c_2) = 2 \times (15 + 41) = 2 \times 56 = 112\text{ birim}
CEVAP: C) 112
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Köşegenlerden biri 9 birimlik dik kenara sahip olduğunda, TYT ve AYT geometri sorularında hipotenüs farkı verilen durumlarda 9-12-15 ve 9-40-41 gibi temel Pisagor üçlülerini doğrudan denemek işlem süresini ciddi oranda kısaltır.