TYTTemel Matematik
Aşağıdaki şekillerde bir defterin belli bir renk, harf ve de-
sen düzeniyle art arda dizilmis olan sayfaları verilmiştir.
Soru Fotoğrafı:
KULLANILAN YÖNTEM: Periyodik bir örüntüde istenen elemanı bulmak için örüntünün tekrar periyodunu belirlemek ve sayfa numarasını bu periyoda göre modüler aritmetik kullanarak incelemektir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Örüntüyü Belirleme
Verilen sayfa görünümlerini inceleyerek renk, harf ve desen kombinasyonlarının tekrar periyodunu bulalım:
| Sayfa No | Renk (Yaklaşık) | Desen | Harf |
|---|---|---|---|
| 1 | Sarı | Dikey çizgili | A |
| 2 | Mavi | Düz | B |
| 3 | Yeşil | Izgaralı | C |
| 4 | Gri | Yatay çizgili | D |
| 5 | Açık Sarı | Düz | E |
| 6 | Mavi | Izgaralı | A |
| 7 | Yeşil | Dikey çizgili | B |
Verilen görselde aradığımız sayfa “Mavi renkli, düz desenli ve D harfli” görünüme sahiptir. Örüntüdeki sayfalara dikkatlice baktığımızda, bu görünümde bir sayfa doğrudan verilmemiştir. Ancak, harf ve desen örüntülerine bakalım:
Harf Örüntüsü: A, B, C, D, E, A, B, … (5 harflik bir periyot var: A, B, C, D, E)
Desen Örüntüsü: Dikey çizgili, Düz, Izgaralı, Yatay çizgili, Düz, Izgaralı, Dikey çizgili, …
Soruda aranan sayfa görünümü: Mavi renkli (Düz), D harfli, düz desenli.
Mavi renkli düz desenli sayfaların harflerini ve numaralarını kontrol edelim:
2. sayfa: Mavi, Düz, B
5. sayfa: Açık Sarı, Düz, E
Mavi renkli ve düz desenli sayfalarda B harfi var. D harfli sayfa ise 4. sayfa ve gri renkli, yatay çizgili.
Bu, sayfa görünümünün birden fazla özelliğin birleşimi olduğunu ve sadece harfe veya desene bakmanın yeterli olmadığını gösterir.
Soruda “Bu defterin D görünümünde olan” diye kastedilen, 4. sayfadaki gri renkli, yatay çizgili, D harfli sayfa görünümüdür. Bu durumda, soruda gösterilen büyük resimdeki sayfanın “D” harfi ve gri-yatay çizgili deseni kastedilmektedir. Görseldeki büyük resim ile 4. sayfadaki D harfli sayfa tamamen aynıdır.
Öyleyse, örüntümüzdeki 4. sayfanın özelliklerine bakmalıyız:
| Sayfa No | Renk | Desen | Harf |
|---|---|---|---|
| 4 | Gri | Yatay çizgili | D |
Şimdi bu örüntünün periyodunu belirleyelim.
Sayfa 1: Sarı, Dikey, A
Sayfa 2: Mavi, Düz, B
Sayfa 3: Yeşil, Izgaralı, C
Sayfa 4: Gri, Yatay, D
Sayfa 5: Açık Sarı, Düz, E
Sayfa 6: Mavi, Izgaralı, A
Sayfa 7: Yeşil, Dikey, B
Harf periyodu 5 (A, B, C, D, E).
Renk ve Desen kombinasyonları periyodu ise biraz daha karmaşık.
Sayfa 1’den 7’ye kadar olan desenler: Dikey, Düz, Izgaralı, Yatay, Düz, Izgaralı, Dikey…
Desenler: Dikey (1), Düz (2), Izgaralı (3), Yatay (4), Düz (5), Izgaralı (6), Dikey (7).
Renkler: Sarı (1), Mavi (2), Yeşil (3), Gri (4), Açık Sarı (5), Mavi (6), Yeşil (7).
Tüm özelliklerin birlikte tekrar ettiği ilk sayfa numarası periyodu verecektir.
sayfa (Sarı, Dikey, A)
sayfa (Mavi, Düz, B)
sayfa (Yeşil, Izgaralı, C)
sayfa (Gri, Yatay, D)
sayfa (Açık Sarı, Düz, E)
sayfa (Mavi, Izgaralı, A)
sayfa (Yeşil, Dikey, B)
sayfa: Sarı, Düz, C (Harf A’dan sonra C, desen Dikey’den sonra Düz) → Örüntü henüz başa dönmedi.
Bir sayfa örüntüsünün tekrar etmesi için hem rengin, hem desenin, hem de harfin aynı anda baştaki duruma gelmesi gerekir.
Renkler: Sarı, Mavi, Yeşil, Gri, Açık Sarı, Mavi, Yeşil,…
Desenler: Dikey, Düz, Izgaralı, Yatay, Düz, Izgaralı, Dikey,…
Harfler: A, B, C, D, E, A, B,…
Bu görselde verilen 7 sayfa, tam bir periyodu göstermeyebilir. Sayfa 6’da harf tekrar A’ya dönmüş, ancak renk ve desen değişmiştir.
Şimdi 1. ve 6. sayfaya bakalım:
Soru görselinde aranan sayfa, 4. sayfadaki Gri, Yatay Çizgili, D harfi olan sayfa ile aynıdır.
Bu durumda, bizim 4. sayfamızın periyodik olarak hangi sayfa numaralarında tekrar ettiğini bulmamız gerekiyor.
Örüntünün genel periyodunu bulmalıyız. Harf örüntüsü 5’li (A,B,C,D,E).
Renk ve desen kombinasyonları için bir periyot çıkarmak için daha fazla sayfaya ihtiyacımız olabilir, ancak genellikle bu tür sorularda periyot ilk birkaç örnekte gizlidir.
Fakat sorunun basit mantığı genellikle “mod” işlemleridir.
4. sayfa → Gri, Yatay, D
Şimdi tüm özelliklerin aynı anda tekrar ettiği sayfa numarasını bulalım.
Eğer sadece harf periyodu 5 ise, 4. sayfa (mod 5)'e göre 4’tür.
Yani 4, 9, 14, 19, … sayfalar D harfli olacaktır.
Ancak D harfi ile birlikte “Gri, Yatay Çizgili” deseni de olmalı.
Renk, Desen ve Harf üçlüsünün birlikte tekrar etme periyodunu bulalım.
(Sarı, Dikey, A)
(Mavi, Düz, B)
(Yeşil, Izgaralı, C)
(Gri, Yatay, D)
(Açık Sarı, Düz, E)
(Mavi, Izgaralı, A)
(Yeşil, Dikey, B)
sayfa:
Harf B’den sonra C gelir.
Desen Dikey’den sonra Düz gelir (eğer periyot 6’lı ise, ama değil).
Örüntüye biraz daha devam edelim:
(Sarı, Dikey, A)
(Mavi, Düz, B)
(Yeşil, Izgaralı, C)
(Gri, Yatay, D)
(Açık Sarı, Düz, E)
Yukarıdaki uzun listeyi manuel olarak yapmak yerine, periyotları ayrı ayrı ele alalım:
Harf örüntüsü: A, B, C, D, E. Periyot = 5.
Desen örüntüsü: Dikey, Düz, Izgaralı, Yatay, Düz, Izgaralı, Dikey… (Bu periyot 6’lı görünüyor: Dikey, Düz, Izgaralı, Yatay, Düz, Izgaralı). 7. sayfa Dikey, yani periyot 6’dır.
Renk örüntüsü: Sarı, Mavi, Yeşil, Gri, Açık Sarı, Mavi, Yeşil… (Bu da 6’lı gibi: Sarı, Mavi, Yeşil, Gri, Açık Sarı, Mavi). 7. sayfa Yeşil, yani periyot 6’dır.
O zaman tüm özelliklerin birlikte tekrar ettiği periyot, harf periyodu (5) ve renk/desen periyodu (6) 'nın EKOK’u olacaktır.
EKOK(5, 6) = 30.
Yani örüntü 30 sayfada bir kendini tekrar eder.
Aradığımız sayfa 4. sayfa ile aynı görünümde olmalı: Gri renk, Yatay çizgili desen, D harfi.
Adım 2 — K Sayısını Bulma
4. sayfa bu görünüme sahip.
Periyot 30 olduğuna göre, bu görünüme sahip diğer sayfalar 4 + 30k şeklinde olacaktır, burada k bir tam sayıdır.
Biz iki basamaklı en büyük numaralı sayfayı arıyoruz.
4 + 30k < 100 olmalı.
30k < 96
k < 96 / 30
k < 3.2
k en büyük 3 olabilir.
k=3 için sayfa numarası:
K = 4 + 30 \times 3
K = 4 + 90
K = 94
Bu durumda, iki basamaklı en büyük numaralı sayfa 94’tür.
Adım 3 — K Sayısının Rakamları Toplamını Hesaplama
K = 94
Rakamları toplamı 9 + 4 = 13.
YENİDEN KONTROL:
Görseldeki “D” harfli sayfa, mavi renkli ve düz desenli olarak gösterilmiştir. Sorunun metninde “D görünümünde olan” ifadesi, görseldeki büyük kutuda gösterilen Mavi renkli, düz desenli, D harfli sayfayı işaret ediyor.
Oysa üstteki sıralamada D harfi 4. sayfada ve “Gri renkli, Yatay çizgili” olarak belirtilmiş. Bu bir çelişki.
Sorunun metni ile görseldeki büyük kutu çelişiyor.
ÇÖZÜMÜ YENİDEN DÜZENLEYELİM - Görseldeki Büyük Kutuyu Esas Alarak:
Görseldeki büyük kutudaki sayfa:
Şimdi bu kombinasyonu veren sayfa numarasını bulmalıyız.
Yukarıdaki sıralı sayfalara bakarsak:
Görseldeki büyük kutu ile tamamen aynı olan bir sayfa (Mavi, Düz, D) ilk 7 sayfada yok.
Bu durumda, örüntünün periyodunu bulup, bu kombinasyonun hangi sayfa numaralarına denk geldiğini genel bir kural ile çıkarmalıyız.
Harf periyodu = 5 (A, B, C, D, E)
Renk periyodu = 6 (Sarı, Mavi, Yeşil, Gri, Açık Sarı, Mavi)
Desen periyodu = 6 (Dikey, Düz, Izgaralı, Yatay, Düz, Izgaralı)
Aranan görünüm:
Şimdi bu koşulları sağlayan sayfa numaralarını bulmalıyız:
Hem Mavi renk hem de Düz desen aynı anda istendiği için,
N \equiv 2 \pmod 6 olmalı. (2. sayfa Mavi ve Düz)
Yani iki koşulu sağlayan bir N arıyoruz:
N \equiv 4 \pmod 5
N \equiv 2 \pmod 6
Bu tür problemleri çözmek için Çin Kalan Teoremi’ni kullanabiliriz, ancak küçük sayılarla deneme yanılma da yapılabilir.
N = 6k + 2 formundaki sayılar: 2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, …
Şimdi bu sayılardan hangisi N \equiv 4 \pmod 5 koşulunu sağlıyor bakalım:
Bu sağlıyor!O zaman, aradığımız “Mavi, Düz, D” kombinasyonundaki ilk sayfa numarası 14’tür.
Kontrol edelim:
Sayfa 14 için:
Evet, 14. sayfa aranan görünüme sahiptir.
Periyot EKOK(5,6) = 30 olduğundan, bu görünüme sahip diğer sayfalar 14 + 30k şeklinde olacaktır.
Biz iki basamaklı en büyük numaralı sayfayı arıyoruz.
14 + 30k < 100
30k < 86
k < 86 / 30
k < 2.86...
k en büyük 2 olabilir.
k=2 için sayfa numarası:
K = 14 + 30 \times 2
K = 14 + 60
K = 74
Bu durumda, iki basamaklı en büyük numaralı sayfa 74’tür.
Adım 3 — K Sayısının Rakamları Toplamını Hesaplama
K = 74
Rakamları toplamı 7 + 4 = 11.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Periyodik Örüntü
2. En Küçük Ortak Kat (EKOK)
3. Modüler Aritmetik
SIK YAPILAN HATALAR:
Örüntü Periyodunu Yanlış Belirlemek
Sorudaki Görsel ve Metin Çelişkisini Gözden Kaçırmak
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir practice problemi çözmemi ister misin?
