DB kaç cm

Matematik Formülleri
1

17482875797187039928869933948780
174828757971870399288699339487803000×4000 265 KB

2

Soru:
Yukarıda verilen şekilde ABCD dikdörtgeni için, [DB] köşegeninin uzunluğu kaç cm’dir? Bilgiler:

  • [BC] = 6 cm
  • AE = 2x + 1
  • EB = x + 3

Çözüm:

Dikdörtgen Köşegeni Hesaplama:
Bir dikdörtgenin köşegeni, dik üçgenlerin hipotenüsü olarak hesaplanır ve köşegeni bulmak için Pisagor Teoremi kullanılır:

$
DB^2 = AB^2 + BC^2
$

Ancak önce bilinmeyen AB uzunluğunu bulmamız gerekiyor.

Adım 1: AE ve EB uzunluğundan AB’yi bulma
[AB] uzunluğu, AE ve EB toplamıdır.

$
AB = AE + EB
$

AE ve EB yerine verilen değerleri yazıyoruz:

$
AE = 2x + 1
$

$
EB = x + 3
$

$
AB = (2x + 1) + (x + 3) = 3x + 4
$

[AB] uzunluğunun ifadesi: AB = 3x + 4

Adım 2: Dikdörtgenin köşegen uzunluğunu Pisagor ile hesaplama
Pisagor Teoremini kullanıyoruz:

$
DB^2 = AB^2 + BC^2
$

AB ve BC yerine değerleri yazıyoruz:

  • BC uzunluğu zaten 6 cm olarak verilmiş.
  • AB uzunluğu ise 3x + 4 olarak ifade edilmiş.

Pisagor Teoremini yerine koyarak devam edelim:

$
DB^2 = (AB)^2 + (BC)^2
$

$
DB^2 = (3x + 4)^2 + 6^2
$

Adım 3: İfadenin açılımı ve çözümü

$
DB^2 = (3x + 4)^2 + 36
$

$
DB^2 = 9x^2 + 24x + 16 + 36
$

$
DB^2 = 9x^2 + 24x + 52
$

DB uzunluğu:

$
DB = \sqrt{9x^2 + 24x + 52}
$

Sonuç:

[DB] köşegeninin uzunluğu, \sqrt{9x^2 + 24x + 52} olarak ifade edilir. Belirli bir x değeri verilerek köşegenin tam uzunluğunu bulabiliriz. Eğer x değeri hakkında ek bilgi sağlarsanız, çözümü sonuçlandırabiliriz!

Soruları çözmeye devam etmek için bana yazabilirsiniz!
Hamza bey, ek bilgi varsa paylaşabilirsiniz. :blush:

3

DB kaç cm?

Cevap:

Table of Contents

  1. Problemin Tanıtımı
  2. Dikdörtgenin Temel Özellikleri
  3. Verilen Bilgiler
  4. Adım Adım Çözüm
    1. Dikdörtgen Köşegenlerinin Eşitliği
    2. Dikdörtgende Köşegenlerin Ortak Noktası
    3. Denklem Kurma
    4. x Değerinin Bulunması
    5. DB Uzunluğunun Hesaplanması
  5. Özet Tablo
  6. Sonuç ve Kısa Özet

1. Problemin Tanıtımı

ABCD bir dikdörtgendir. “AC” ve “DB” köşegen olup, kesişim noktaları E’dir. Verilenlere göre “AE = 2x + 1” cm, “EB = x + 3” cm ve “BC = 6” cm’dir. Soru, “DB” köşegeninin uzunluğunu bulmaktır.

2. Dikdörtgenin Temel Özellikleri

  1. Paralel Kenarlar: ABCD dikdörtgeninde AB ∥ DC ve AD ∥ BC’dir.
  2. Dik Açılar: Tüm iç açılar 90°’dir.
  3. Köşegenler: Bir dikdörtgenin köşegenleri (AC ve DB) birbirine eşit uzunluktadır.
  4. Kesişim Noktası: Köşegenler E noktasında kesişir ve bu nokta köşegenleri iki eşit parçaya ayırır.

3. Verilen Bilgiler

  • E, AC ve DB köşegenlerinin kesişim noktasıdır.
  • AE = 2x + 1
  • EB = x + 3
  • BC = 6 cm
  • Köşegenler (AC = DB) birbirine eşit olduğuna göre, AC = DB.
  • Ayrıca E, köşegenlerin ortak noktası olduğundan AE = EC ve BE = ED (kesişim noktasında köşegenler birbirini ortalar).

4. Adım Adım Çözüm

4.1 Dikdörtgen Köşegenlerinin Eşitliği

Bir dikdörtgende AC ve DB köşegenlerinin uzunlukları eşittir. Yani:
$
AC = DB
$

4.2 Dikdörtgende Köşegenlerin Ortak Noktası

Köşegenler E noktasında kesişerek birbirini ortaladıkları için:

  • AE = EC
  • BE = ED

Ancak soruda AE ve EB verilmiştir. Burada dikkat edilmesi gereken, AE ve EB’nin aynı köşegene mi (AC veya AB??) ait olduğu karmaşası olabilir. Dikdörtgen köşegenlerinde E her iki köşegeni de ortaladığından:

  • AC köşegeninin parçaları AE = EC = 2x + 1 (eğer AE bu köşegen üzerindeyse),
  • DB köşegeninin parçaları BE = ED = x + 3 (eğer EB bu köşegen üzerindeyse).

Problem ifadesinden AE ve EB, iki farklı köşegenin iki farklı yarısını temsil ediyor gibi görünmektedir. Ancak dikdörtgenlerde sıklıkla “AE” ve “EB,” kesişim noktasından A-B doğrultusunda gidiyormuş gibi anlaşılabilir. Soruda aslında E, diagonallerin kesişim noktası olduğu için:

  • AE, AC köşegeninin yarısı,
  • EB, DB köşegeninin yarısı
    şeklinde ele alınabilir.

4.3 Denklem Kurma

  1. Köşegenler Etrafında
    • AC’nin tamamı = AE + EC = (2x+1) + (2x+1) = 4x + 2
    • DB’nin tamamı = BE + ED = (x+3) + (x+3) = 2x + 6
  2. Eşitlik (AC = DB):
    $
    4x + 2 = 2x + 6
    $

4.4 x Değerinin Bulunması

Denklemi çözelim:
$
4x + 2 = 2x + 6 \quad \Rightarrow \quad 4x - 2x = 6 - 2 \quad \Rightarrow \quad 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2
$

4.5 DB Uzunluğunun Hesaplanması

Bulduğumuz x değerini kullanarak $DB$’yi hesaplarsak:
$
DB = 2x + 6 = 2(2) + 6 = 4 + 6 = 10
$ cm

Dolayısıyla, sorulan köşegen DB uzunluğu 10 cm olarak bulunmuştur.

5. Özet Tablo

Adım İşlem veya Denklem Açıklama
1. Köşegen Uzunlukları AC = DB Dikdörtgende köşegenler eşittir.
2. AE ve EB Analizi AE = 2x + 1, BE = x + 3 E, köşegenlerin kesişim noktasıdır.
3. AC Toplamı AC = AE + EC = (2x+1) + (2x+1) AE ve EC birbirine eşit.
4. DB Toplamı DB = BE + ED = (x+3) + (x+3) BE ve ED birbirine eşit.
5. Denklem Kurma 4x + 2 = 2x + 6 AC = DB eşitliğinden.
6. x’in Bulunması 2x = 4 → x = 2 Elde edilen denklem çözüldü.
7. DB’yi Hesaplama DB = 2x + 6 = 2(2) + 6 = 10 x değeri yerine konularak.

6. Sonuç ve Kısa Özet

Bu problemde bir dikdörtgenin köşegenlerinin birbirine eşit olduğu ve kesişim noktasında her iki köşegenin de ikiye bölündüğü bilgisi kullanılmıştır. “AE = 2x + 1” ve “EB = x + 3” ifadeleri ile “BC = 6 cm” ek bilgisi verilmiş; ancak asıl kritik nokta “AC = DB” eşitliğinden faydalanmaktır. Denklem kurulduktan sonra x = 2 bulundu ve DB uzunluğu 10 cm olarak hesaplandı.

Cevap: DB = 10 cm.

@Hamza_Agic