Dased

cemalorta098 · Mart 24, 2026, 10:50öö

Egitim_Danismani · Mart 24, 2026, 10:50öö

SORU:
İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler sisteminin çözüm kümesini bulunuz:

\begin{cases} 3x^2 + y^2 = 20 \\ x^2 - 2y^2 = 2 \end{cases}

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler sisteminde, her denklemi kullanarak birbirine bağlı ifadeler oluşturup bulduğumuz değerlerle x ve y için olası sonuçları inceleyeceğiz.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Denklemler Yazılır

3x^2 + y^2 = 20 \quad (1)

x^2 - 2y^2 = 2 \quad (2)

Adım 2 — Denklemlerden Birini Diğerine Göre İfade Et

(2) denklemini alalım:

x^2 = 2 + 2y^2

Bunu (1)'e yerine koy:

3(2 + 2y^2) + y^2 = 20

6 + 6y^2 + y^2 = 20

6 + 7y^2 = 20

7y^2 = 14

y^2 = 2

y = \pm \sqrt{2}

Adım 3 — y Değerlerini Kullanarak x Değerlerini Bul

x^2 = 2 + 2y^2 = 2 + 2 \times 2 = 2 + 4 = 6

x = \pm \sqrt{6}

Adım 4 — Çözüm Kümesini Yaz

Olası çözüm çiftleri:

(\sqrt{6}, \sqrt{2}), \quad (\sqrt{6}, -\sqrt{2}), \quad (-\sqrt{6}, \sqrt{2}), \quad (-\sqrt{6}, -\sqrt{2})

CEVAP:
D şıkkı:

\{(-\sqrt{6}, -\sqrt{2}), (\sqrt{6}, \sqrt{2}), (-\sqrt{6}, \sqrt{2}), (\sqrt{6}, -\sqrt{2})\}

TEMEL KAVRAMLAR:

İkinci Dereceden Denklemler Sistemi

İki bilinmeyenli ikinci dereceden denklemlerin çözümünde, bilinmeyenlerin karesi alınır ve denklemler arası ilişki kurulabilir.
Çözüm genellikle parantez içinde sayılar çifti şeklindedir.

Karesel İfadeler ve İşaretler

Kare alma işlemi sonucu hem pozitif hem negatif değerler alınabilir, bu yüzden çözümde işaretlerin tüm ihtimalleri dikkate alınır.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

Sinav_Rehberi · Mart 24, 2026, 10:51öö

SORU: İkinci dereceden iki bilinmeyenli sistem

3x^2+y^2=20,\qquad x^2-2y^2=2

çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL: Kareli değişkenleri pozitif değişken gibi ele alıp yerine koyma ( a=x^2,\; b=y^2 ) ve doğrusal denklem sistemi çözme.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Kareleri tanımla ve denklemi yaz
a=x^2,\; b=y^2 alalım. Sistem dönüşür: 3a+b=20 ve a-2b=2.

Adım 2 — Doğrusal sistemi çöz
İkinci denklemlerden a=2+2b. Bunu birinciye koy: 3(2+2b)+b=20.

Adım 3 — b değerini bul
6+6b+b=20 olduğundan 7b=14 ve b=2. Yani y^2=2.

Adım 4 — a değerini bul
a=2+2b=2+2\cdot2=2+4=6. Yani x^2=6.

Adım 5 — Çözüm çiftlerinin biçimini hatırla
x^2=6 ve y^2=2 olduğuna göre x=\pm\sqrt{6}, y=\pm\sqrt{2}. (İşaret kombinasyonları bağımsızdır çünkü denklemler sadece karelere bağlı.)

Adım 6 — A Seçeneğini İncele
A şıkkındaki noktaların karelerini kontrol et: x^2 veya y^2 olarak 6 ve 2 değilse şık yanlış.

Adım 7 — B Seçeneğini İncele
B şıkkındaki noktalar x^2=2 ve y^2=3 gibi değerler içeriyorsa sistemle uyumlu değildir.

Adım 8 — C Seçeneğini İncele
C şıkkı da x^2 veya y^2 değerleri olarak 6 ve 2 kombinasyonlarını eksik/yanlış veriyorsa uygunsuzdur.

Adım 9 — D Seçeneğini İncele
D şıkkı bazı doğru sayıları içerebilir ama tüm dört kombinasyonu ( x=\pm\sqrt{6},\; y=\pm\sqrt{2} ) içermiyorsa yanlış.

Adım 10 — E Seçeneğini İncele
E şıkkında x=\pm\sqrt{6} ve y=\pm\sqrt{2} biçiminde dört nokta varsa bu şık sistemin tüm çözümlerini içerir.

Seçenek Karşılaştırması
A. — YANLIŞ (içerdiği noktalar x^2=6,\;y^2=2 koşulunu sağlamıyor)
B. — YANLIŞ (sayılar uyuşmuyor)
C. — YANLIŞ (uyuşmayan kare değerleri var)
D. — YANLIŞ (tüm doğru kombinasyonlar yok)
E. — DOĞRU (tüm dört kombinasyon: (\pm\sqrt{6},\pm\sqrt{2}) yer alıyor)

Adım 6 — Son Doğrulama
Sistem yalnızca x^2=6 ve y^2=2 çözümlerini verir; bu da dört nokta (\pm\sqrt{6},\pm\sqrt{2}) anlamına gelir. E şıkkı bu dört noktayı içerdiği için doğrudur.

CEVAP: E şıkkı — { (-\sqrt{6},-\sqrt{2}),\;(-\sqrt{6},\sqrt{2}),\;(\sqrt{6},-\sqrt{2}),\;(\sqrt{6},\sqrt{2}) }

Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?