Raiktetm
dakilerden hanglatdlr’
1 kactır
olduune gre 126-
Et
eure pg sparu Aurnin geçroigor?
işlemiain yonucu kactur
Mads \int es aaden anglaidir
RAJIYAE
-3-(-i-i
swminin sonucw kaçlr?
Sy
olduğuna göre, x kaçtir?
A-8
B)-6
C)–4
D) 2
E)6
7^{x+2} = \left(\frac{1}{49}\right)^3 Denklemini Sağlayan x Değerinin Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Negatif Üs Kuralı: \frac{1}{a^n} = a^{-n}
- Üssün Üssü Kuralı: (a^m)^n = a^{m \cdot n}
- Tabanları Eşit Üslü Denklemler: a^x = a^y ve a \notin \{-1, 0, 1\} ise x = y
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kesirli İfadeyi 7 Tabanında Yazma
Sağ taraftaki paydada bulunan 49 sayısını 7’nin kuvveti olarak yazalım:
49 = 7^2 \implies \frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}
Adım 2 — Sağ Taraftaki Üssün Üssünü Alma
\left(\frac{1}{49}\right)^3 ifadesinde elde ettiğimiz 7^{-2} değerini yerine koyup üsleri çarpalım:
\left(\frac{1}{49}\right)^3 = (7^{-2})^3 = 7^{(-2) \cdot 3} = 7^{-6}
Adım 3 — Tabanları Eşitleyip Üsleri Karşılaştırma
Denklemin sol ve sağ tarafını 7 tabanında eşitleyelim:
7^{x+2} = 7^{-6}
Tabanlar eşit (7) olduğuna göre üsler de birbirine eşit olmalıdır:
x + 2 = -6
Adım 4 — x Değerini Çözme
x = -6 - 2
x = -8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) -8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Taban Eşitleme Yöntemi
- Tanım: Üslü denklemleri çözerken her iki tarafı da aynı asal tabana indirgemektir.
- Bu problemde: \frac{1}{49} ifadesi 7^{-2} olarak yazılarak her iki taraf 7 tabanında eşitlenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Üsleri Çarparken İşareti Unutmak
- Yanlış: \left(\frac{1}{49}\right)^3 = 7^6 \implies x+2=6 \implies x=4
- Doğru: Paydadan paya geçen üs işaret değiştirir: \frac{1}{49} = 7^{-2}, dolayısıyla (7^{-2})^3 = 7^{-6} olur.
- Neden yanlış: Paydada bulunan pozitif bir üs yukarıya taşındığında negatif işaret almalıdır.
Sayfadaki diğer soruların (örneğin 6. sorudaki 5^{x-1}=25 veya 7. sorudaki sadeleştirme) çözüm adımlarını da incelememi ister misin?
@Egitim_Danismani evet
6. Soru: 5^{x-1} = 25 Olduğuna Göre 125^{x-1} İfadesinin Değerinin Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Taban Eşitleme: a^m = a^n \implies m = n
- Üssün Üssü Kuralı: (a^m)^n = a^{m \cdot n} = (a^n)^m
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Eşitlikten (x-1) Değerini Bulma
25 sayısını 5 tabanında yazalım:
25 = 5^2
Denklemde yerine koyalım:
5^{x-1} = 5^2
Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de eşittir:
x - 1 = 2
Adım 2 — İstenen İfadeyi 5 Tabanında Düzenleme
Bizden istenen ifade:
125^{x-1}
125 sayısı 5^3 olduğuna göre ifadeyi yeniden yazalım:
125^{x-1} = (5^3)^{x-1}
Üssün üssü kuralına göre üslerin yerini değiştirebiliriz:
(5^3)^{x-1} = (5^{x-1})^3
Adım 3 — Değeri Yerine Yazıp Sonucu Bulma
5^{x-1} = 5^2 (veya 25) olduğunu biliyoruz:
(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 5^6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ortak Üs Dönüşümü
- Tanım: (a^m)^n = (a^n)^m eşitliği sayesinde x’in değerini tek başına bulmadan da (x-1) blok olarak yerine yazılabilir.
- Bu problemde: 125^{x-1} = (5^{x-1})^3 yazılarak 25^3 = (5^2)^3 = 5^6 elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
x Değerini Yanlış Çekip Üsse Yanlış Yazmak
- Yanlış: x - 1 = 2 \implies x = 3 bulduktan sonra 125^3 = (5^3)^3 = 5^9 işaretlemek.
- Doğru: İfade 125^x değil, 125^{x-1} dir. Bu yüzden üs 3 değil, 3-1 = 2 olmalıdır.
- Neden yanlış: Sorunun kökündeki -1 ifadesini gözden kaçırmak yanlış seçeneğe (A şıkkı) yönlendirir.
7. Soru: \frac{81^4}{27^3} İşleminin Sonucunun Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Üssün Üssü Kuralı: (a^m)^n = a^{m \cdot n}
- Üslü Sayılarda Bölme Kuralı: \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Payı 3 Tabanında Yazma
81 sayısı 3^4’e eşittir:
81^4 = (3^4)^4 = 3^{4 \cdot 4} = 3^{16}
Adım 2 — Paydayı 3 Tabanında Yazma
27 sayısı 3^3’e eşittir:
27^3 = (3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9
Adım 3 — Bölme İşlemini Uygulama
Pay ve paydayı ortak tabanda birbirine bölelim:
\frac{81^4}{27^3} = \frac{3^{16}}{3^9}
Tabanlar eşit olduğundan payın üssünden paydanın üssü çıkarılır:
3^{16 - 9} = 3^7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 3^7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Tabana İndirgeme
- Tanım: Tabanları farklı olan üslü sayıları çarpmak ya da bölmek için sayıları en küçük asal çarpanları cinsinden ifade etmektir.
- Bu problemde: Hem 81 hem de 27, 3’ün kuvvetleri biçiminde yazılarak işlem kolaylaştırılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Üsleri Çarpmak Yerine Toplamak
- Yanlış: (3^4)^4 = 3^{4+4} = 3^8 şeklinde hesaplamak.
- Doğru: Parantez üssü alınırken üsler birbiriyle çarpılır: 4 \cdot 4 = 16.
- Neden yanlış: Üslü sayılarda çarpma işlemi ile üssün üssü kuralları birbiriyle karıştırılmamalıdır.
Sayfanın sol tarafındaki 3. ve 4. soruların da adım adım çözümlerini hazırlamamı ister misin?
@Elifnur_Umutoglu evet
3. Soru: \frac{x^2 \cdot x^{-4}}{x^{-7}} İfadesinin Eşitinin Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Tabanları Aynı Üslü Sayılarda Çarpma: x^a \cdot x^b = x^{a+b}
- Tabanları Aynı Üslü Sayılarda Bölme: \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Pay Kısmındaki Çarpma İşlemini Yapma
Paydaki x^2 \cdot x^{-4} ifadesinde tabanlar aynı (x) olduğu için üsler toplanır:
x^2 \cdot x^{-4} = x^{2 + (-4)} = x^{-2}
Adım 2 — Bölme İşlemini Uygulama
Elde edilen payı paydaya bölelim:
\frac{x^{-2}}{x^{-7}}
Tabanlar eşit olduğundan payın üssünden paydanın üssü çıkarılır:
x^{-2 - (-7)} = x^{-2 + 7} = x^5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) x^5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Üslü Sayılarda Bölme ve Negatif Üs
- Tanım: Tabanları eşit ifadeler bölünürken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
- Bu problemde: \frac{x^{-2}}{x^{-7}} işleminde paydanın negatif üssü yukarı çıkarılırken işaret değiştirmiş ve x^{-2+7} = x^5 bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Çıkarma İşleminde İşaret Hatası Yapmak
- Yanlış: Paydadan çıkarma yaparken eksileri çarpmayıp -2 - 7 = -9 \implies x^{-9} sonucuna ulaşmak.
- Doğru: Paydadaki üs zaten negatif olduğu için çıkarma işleminde eksi ile eksi artı olur: -2 - (-7) = 5.
- Neden yanlış: Çıkarma işleminin işlem işareti (-) ile sayının kendi işareti (-7) birbiriyle karıştırılmamalıdır.
4. Soru: (-3^2) - (-2^0) + (-5)^2 İşleminin Sonucunun Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Parantez İçi ve Dışı Üs Kuralı: Parantezin dışındaki çift kuvvet tabanı pozitif yapar: (-a)^{2n} > 0. Kuvvet parantezin içindeyse işaret korunur: (-a^{2n}) = -a^{2n} < 0.
- Sıfırıncı Kuvvet Kuralı: Sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 1’dir: a^0 = 1.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Birinci Terimi Hesaplama: (-3^2)
Kuvvet olan 2, parantezin dışında değil sadece 3 sayısının üzerindedir. Dolayısıyla eksi işareti korunur:
-3^2 = -(3^2) = -9
Adım 2 — İkinci Terimi Hesaplama: (-2^0)
Sıfır üssü sadece 2 sayısının üzerindedir:
-2^0 = -(2^0) = -1
Önündeki çıkarma işareti ile birlikte düzenleyelim:
-(-2^0) = -(-1) = +1
Adım 3 — Üçüncü Terimi Hesaplama: (-5)^2
Kare kuvveti parantezin dışındadır, dolayısıyla hem sayının hem de işaretin karesi alınır:
(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = +25
Adım 4 — Değerleri Toplayarak Sonucu Bulma
Bulunan tüm değerleri sırasıyla işleme koyalım:
(-9) - (-1) + 25 = -9 + 1 + 25
-8 + 25 = 17
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 17
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çift Kuvvetin Paranteze Etkisi
- Tanım: Çift kuvvet parantezin dışındaysa negatif tabanı pozitife çevirir; parantezin içindeyse veya parantez yoksa sadece sayının kuvvetini alır, eksi işaretine dokunmaz.
- Bu problemde: (-3^2) = -9 olurken, (-5)^2 = +25 sonucunu vermiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
(-3^2) İfadesini Pozitif Kabul Etmek
- Yanlış: (-3^2) = +9 olarak almak.
- Doğru: Üs parantezin içine yazıldığı için karesi alınan sayı +3’tür, önündeki eksi aynen kalır ve değer -9 olur.
- Neden yanlış: Parantezin dışındaki kuvvetler ile parantezin içindeki kuvvetlerin işaret üzerindeki etkileri farklıdır.
Sayfada yer alan 1, 2 veya 5. soruların da adım adım çözümlerini incelememi ister misin?
@sorumatik_uzman_bot evet
1. Soru: 4^3 \cdot 2^4 İşleminin Sonucunun Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Üssün Üssü Kuralı: (a^m)^n = a^{m \cdot n}
- Tabanları Aynı Üslü Sayılarda Çarpma: a^m \cdot a^n = a^{m+n}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 4 Sayısını 2 Tabanında Yazma
İşlemi yapabilmek için tabanları eşitleyelim. 4 = 2^2 olduğuna göre:
4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6
Adım 2 — Tabanları Eşit Üslü İfadeleri Çarpma
Elde edilen ifadeyi yerine koyarak çarpma işlemini tamamlayalım:
2^6 \cdot 2^4 = 2^{6+4} = 2^{10}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 2^{10}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Taban Eşitleme
- Tanım: Tabanları farklı ancak ortak bir asal tabanın kuvveti olan sayılarda, tabanlar aynı sayıya dönüştürülerek işlem yapılır.
- Bu problemde: 4 sayısı 2^2 şeklinde yazılarak her iki çarpan da 2 tabanında buluşturulmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Tabanları da Birbiriyle Çarpmak
- Yanlış: 4^3 \cdot 2^4 = 8^7 şeklinde hem tabanları çarpıp hem üsleri toplamak.
- Doğru: Üslü sayılarda çarpma kuralı uygulanırken ortak taban aynen yazılır (2), yalnızca üsler toplanır (6+4=10).
- Neden yanlış: Tabanları farklıyken çarpma kuralı doğrudan uygulanamaz; önce ortak tabana getirilmelidir.
2. Soru: Sporcunun Geçtiği Hedef Yüksekliğinin Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Pozitif Tam Sayı Kuvveti: a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ tane}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Yükseklik İfadesini Belirleme
Görseldeki yüksek atlama çıtasının yüksekliği 2^3\text{ metre} olarak verilmiştir.
Adım 2 — Üslü İfadenin Değerini Hesaplama
2^3 ifadesi, 3 tane 2’nin yan yana çarpımıdır:
2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\text{ metre}
Sporcu bu yüksekliği geçtiğine göre 8 metrelik hedefi başarmıştır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Temel Kuvvet Alma
- Tanım: Bir sayının üssü kadar kendisiyle çarpılması işlemidir.
- Bu problemde: 2^3 değeri 8 olarak hesaplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Taban ile Üssü Çarpmak
- Yanlış: 2^3 = 2 \cdot 3 = 6 metre olarak hesaplayıp B seçeneğine yönelmek.
- Doğru: 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 metre olmalıdır.
- Neden yanlış: Üs, tabanın kaç kez çarpılacağını belirtir; taban ile üs birbiriyle çarpılmaz.
5. Soru: (-m)^5 \cdot (-m^2) \cdot (-m)^{-4} İfadesinin Eşitinin Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Parantez ve Kuvvet İşaret Kuralları:
- Negatif sayının tek kuvveti negatiftir: (-a)^{2n+1} = -a^{2n+1}
- Kuvvet parantezin içindeyse eksi işareti korunur: (-a^n) = -a^n
- Negatif sayının parantez dışındaki çift kuvveti pozitiftir: (-a)^{2n} = +a^{2n}
- Tabanları Aynı Üslü Sayılarda Çarpma: m^a \cdot m^b \cdot m^c = m^{a+b+c}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Her Çarpanın İşaretini ve Değerini Ayrı Ayrı İnceleme
- (-m)^5: Üs olan 5 parantez dışındadır ve tek sayıdır. Dolayısıyla işaret negatiftir:(-m)^5 = -m^5
- (-m^2): Üs olan 2 parantezin içindedir, yani yalnızca m’nin üzerindedir; eksi işaretini etkilemez:(-m^2) = -m^2
- (-m)^{-4}: Üs olan -4 parantezin dışındadır ve çift sayıdır. Negatif sayının çift kuvveti pozitif olacağından:(-m)^{-4} = +m^{-4}
Adım 2 — Genel İşaret Belirleme
İfadelerin işaretlerini birbiriyle çarpalım:
(-) \cdot (-) \cdot (+) = (+)
Sonucun işareti kesinlikle pozitif (+) olacaktır.
Adım 3 — Tabanı m Olan İfadelerin Üslerini Toplama
Pozitif işaret altında üsleri toplayalım:
m^5 \cdot m^2 \cdot m^{-4} = m^{5 + 2 + (-4)} = m^{7 - 4} = m^3
İşaret pozitif olduğu için nihai sonuç +m^3, yani m^3 olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) m^3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Cebirsel Üslü İfadelerde İşaret Analizi
- Tanım: Harfli üslü ifadeler çarpılırken önce bağımsız olarak katsayı işaretleri belirlenir, ardından tabanların üsleri toplanır.
- Bu problemde: İki adet negatif terim çarpılarak pozitif sonuç elde edilmiş ve üsler 5+2-4 = 3 şeklinde toplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Negatif Çift Üssü Negatif Saymak
- Yanlış: Üssün önündeki eksi işaretinden dolayı (-m)^{-4} ifadesini negatif kabul edip nihai cevabı -m^3 bulmak.
- Doğru: Üssün negatif olması sayının değerini çarpmaya göre tersine çevirir (\frac{1}{a^n}), ancak işaretini etkilemez. Çift sayı olduğu için tabanı pozitif yapar: (-m)^{-4} = \frac{1}{(-m)^4} = \frac{1}{m^4} = +m^{-4}.
- Neden yanlış: Üssün işareti ile tabanın işaret kuralları birbiriyle karıştırılmamalıdır.
Böylece sayfadaki tüm soruların çözümlerini tamamlamış olduk. Bu testteki kurallarla ilgili takıldığın özel bir nokta var mı, yoksa bir sonraki teste mi geçmek istersin?
@sorumatik_uzman_bot evet
Test 1 (Üslü Sayılar) — Temel Kuralların Özeti
Bu sayfadaki 8 sorunun tamamında kullanılan ve TYT Matematik sınavında en sık karşılaşılan 4 kritik kural aşağıda derlenmiştir:
| Kural Adı | Matematiksel İfade | Kritik Nokta |
|---|---|---|
| Negatif ve Çift Üs | (-a)^{2n} > 0 (-a^n) < 0 |
Parantez dışındaki çift kuvvet tabanı pozitif yapar; parantez yoksa ya da üs parantez içindeyse işaret korunur. |
| Negatif Üs | a^{-n} = \frac{1}{a^n} | Sayının üssünün negatif olması tabanın işaretini etkilemez; sadece kesri çarpmaya göre ters çevirir. |
| Üssün Üssü | (a^m)^n = a^{m \cdot n} | Parantez üst üste bindiğinde üsler birbiriyle çarpılır. |
| Çarpma ve Bölme | a^m \cdot a^n = a^{m+n} \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} |
Çarpma işleminde tabanlar eşitse üsler toplanır, bölme işleminde payın üssünden paydanın üssü çıkarılır. |
Bir sonraki testin (Test 2) fotoğrafını yükleyerek çözümlere devam etmek ister misin, yoksa bu kuralları tam pekiştirmek adına benzer bir pratik sorusu çözmemizi mi istersin?