Dairesel Koşu Pisti Çevresi Hesaplama
Önemli Noktalar
- Kenan’ın 1 turu (S metre) attığı anda, Murat B noktasına (pistin yarısı, S/2) ve Ali C noktasına (B’den A’ya yarım çemberin orta noktası, A’dan 3S/4 uzaklık) ilk kez ulaşır.
- Hız oranları: Kenan : Murat : Ali = 4 : 2 : 3.
- Kenan 3 tur (3S) attığında toplam yol: 6,75S = 5400 metre → Çevre S = 800 metre.
- Doğru cevap: C) 800.
Dairesel koşu pistinin çevresi 800 metredir. Bu, AB çaplı pistte (çapın π katı çevre) üç yarışmacının hızlarını ve konumlarını kullanarak hesaplanır. Kenan’ın tam turu sırasında Murat yarım tur (B’ye), Ali 3/4 tur (C’ye) koşar; bu hız oranlarını verir. Kenan 3 turda toplam yolları toplayınca çevre bulunur.
İçindekiler
- Problem Analizi ve Varsayımlar
- Hız Oranlarının Hesaplanması
- Toplam Yol Hesabı
- Karşılaştırma Tablosu: Yarışmacı Konumları
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Problem Analizi ve Varsayımlar
Bu YKS TYT sorusu, dairesel hareket ve oran-orantı içerir. Pist AB çaplı daire olup, çevre S metre olsun (S = π × AB). A ve B çap uçlarıdır (B, A’dan 180° karşıt nokta, mesafe S/2).
Yön: Ok yönünde (A’dan saat yönü tersine varsayalım: A → üst → B → alt → A). C, "BOCA yayı"nın (B’den A’ya alt yarım çember) orta noktasıdır: B (180°) → C (270°) → A (360°).
Başlangıç: Üçü A’dan aynı anda sabit hızlarla başlar.
- Kenan 1 tur (S, 360°) attığında:
- Murat ilk kez B’ye (180°, S/2) ulaşır.
- Ali ilk kez C’ye (270°, A’dan 270° = 3S/4) ulaşır.
Merkez O varsayımıyla: Arc BCA = B (180°) - C (270°) - A (360°), tam yarım çember (S/2), orta nokta C 90° (S/4) B’den. A’dan C’ye: 270° = 3S/4.
Gerçek hayatta (atletizm pistleri gibi), bu oranlar hız farklarını belirler. Pratikte, benzer sorunlar koşu stratejilerinde kullanılır (örneğin, maratonlarda tempo oranları).
Pro İpucu: Dairesel pistlerde konumları açısal (derece) düşünün: Tam tur 360°, çap ucu 180°. Bu, hatasız mesafe hesaplatır.
Hız Oranlarının Hesaplanması
Zaman t₁ = Kenan’ın 1 turu = S / v_K (v_K: Kenan hızı).
- Murat: S/2 = v_M × t₁ → v_M = (S/2) / (S / v_K) = v_K / 2.
- Ali: 3S/4 = v_A × t₁ → v_A = (3S/4) / (S / v_K) = (3/4) v_K.
Hız oranı: v_K : v_M : v_A = 1 : 1/2 : 3/4 = 4 : 2 : 3 (ortak payda 4).
Formül: Hız = Mesafe / Zaman. Aynı zamanda oran, mesafe oranına eşittir.
Klinik/pedagojik not: Bu oran, fizikte relatif hızı öğretir. Gerçek yarışlarda (Olimpiyatlar), hız farkları %25-50 arasında değişir; burada Ali en hızlı (3/4 oran).
Uyarı: Yönü yanlış varsayarsanız (C’yi S/4 alırsanız), S ≈ 1029 çıkar (seçenek dışı). C 3S/4 olmalı!
Toplam Yol Hesabı
Kenan 3 tur: Mesafe = 3S, zaman t₂ = 3S / v_K.
- Murat yolu: v_M × t₂ = (v_K / 2) × (3S / v_K) = (3/2) S = 1,5 S.
- Ali yolu: v_A × t₂ = (3 v_K / 4) × (3S / v_K) = (9/4) S = 2,25 S.
- Kenan: 3S.
Toplam: 3S + 1,5S + 2,25S = 6,75 S = 5400 m.
Çözüm:
$$ S = \frac{5400}{6,75} = \frac{5400}{\frac{27}{4}} = 5400 \times \frac{4}{27} = 200 \times 4 = 800 ] metre.
Adım adım:
- 5400 ÷ 27 = 200 (27 × 200 = 5400).
- 200 × 4 = 800.
Bu, TYT oran problemlerinin klasik çözümü: Oranları mesafeye uygula, toplamı çöz.
Anahtar Nokta: 6,75 = 27/4; kesir çevirmek hatayı önler. Gerçek pistlerde (400 m standart), bu 2 tur eder.
Karşılaştırma Tablosu: Yarışmacı Konumları
| Özellik |
Kenan (1. Tur Sonu) |
Murat (1. Tur Sonu) |
Ali (1. Tur Sonu) |
| Mesafe |
S (360°) |
S/2 (180°, B) |
3S/4 (270°, C) |
| Hız Oranı (v_K=4) |
4 birim |
2 birim |
3 birim |
| 3. Tur Sonu Mesafe |
3S |
1,5S |
2,25S |
| Tur Sayısı (3. Turda) |
3 tam |
1,5 tur |
2,25 tur |
| Konum (Açısal) |
A (0°) |
A + 180° (B tarafı) |
A + 270° × 2,25 (C ötesi) |
Bu tablo, relatif ilerlemeyi gösterir. Kenan en yavaş görünse de (başvuru), Ali en hızlıdır.
Özet Tablo
| Unsur |
Detay |
| Pist Çevresi (S) |
800 metre |
| AB Mesafesi (Yarım Tur) |
S/2 = 400 m |
| A’dan C’ye Mesafe |
3S/4 = 600 m |
| Hız Oranı |
Kenan:Murat:Ali = 4:2:3 |
| 1. Tur Zamanı (t₁) |
S / v_K |
| 3. Tur Toplam Yol |
6,75S = 5400 m |
| Denklem |
3S + (3/2)S + (9/4)S = 5400 |
| Doğru Seçenek |
C) 800 |
| TYT İpucu |
Oran-orantı + dairesel hareket |
Sık Sorulan Sorular
1. C noktası neden 3S/4’tür?
AB çaplı pistte B 180° (S/2), arc BCA alt yarım çember (180°-360°). Orta nokta C 270°’dir. A’dan (0°) C’ye (270°) 270° = 3S/4 mesafe. Üst arc olsaydı S/4 olurdu, ama “BOCA” altı işaret eder (resimde C üstte ama yön altı ima eder).
2. Hızlar neden 4:2:3 oranında?
Aynı zamanda mesafeler S : S/2 : 3S/4 → oran 4/4 : 2/4 : 3/4 = 4:2:3. TYT’de hız = mesafe/zaman formülüyle bulunur.
3. Toplam yol neden 6,75S?
Kenan 3S, Murat (1/2 hız) 3S × (1/2) = 1,5S, Ali (3/4 hız) 3S × (3/4) = 2,25S. Toplam 3 + 1,5 + 2,25 = 6,75S. Kesir: 12/4 + 6/4 + 9/4 = 27/4 S.
4. Eğer C S/4 olsaydı ne olurdu?
Hız Ali v_K/4, 3. turda Ali 3S/4, toplam 3S + 1,5S + 0,75S = 5,25S = 5400 → S ≈ 1029 (seçenek dışı). Soru arc BCA orta noktası diye 3S/4 doğru.
5. Bu problem TYT’de nasıl çözülür?
- Konumları açısal belirle (360° tam tur). 2. Oran kur. 3. Değişken S ile denklem yaz. 4. Çöz (burada 800). Pratik: Benzer sorunlarda çizim yapın.
Sonraki Adımlar
Bu çözümü pekiştirmek için, benzer bir problemde (örneğin, 4 yarışmacılı varyasyon) detaylı hesaplama mı istersin, yoksa TYT dairesel hareket quiz’i mi hazırlayayım?
@Sumeyye_Kaya1