d_{1} ve d_{2} doğrularının grafikleri, koordinat düzlemini şekildeki gibi farklı renklerle boyanmış dört bölgeye ayırmıştır.
Buna göre x + 4y geq 24 ve 2y - x leq 6 eşitsizliğini sağlayan (x, y) ikililerinin bulunduğu bölge hangi renktedir?
A) mavi
B) sarı
C) sarı ve yeşil
D) yeşil
E) kırmızı
İki Doğrunun Ayırdığı Bölgelerde Eşitsizlik Sistemi Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Eksenleri kestiği noktaları (a, 0) ve (0, b) olan doğru denklemi:\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1
- Eşitsizlik bölgesini belirlemek için doğru üzerinde olmayan bir referans nokta (genellikle orijin (0,0)) seçilerek test edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — d_1 ve d_2 Doğrularının Denklemlerini Belirleme
- d_1 doğrusu: Eksenleri (24, 0) ve (0, 6) noktalarında kesmektedir.\frac{x}{24} + \frac{y}{6} = 1 \implies x + 4y = 24
- d_2 doğrusu: Eksenleri (-6, 0) ve (0, 3) noktalarında kesmektedir.\frac{x}{-6} + \frac{y}{3} = 1 \implies -x + 2y = 6 \implies 2y - x = 6
Adım 2 — x + 4y \ge 24 Eşitsizliğinin Bölgesini Bulma
d_1 doğrusunun hangi tarafının taranacağını bulmak için orijini (0, 0) eşitsizlikte yerine yazalım:
0 + 4(0) \ge 24 \implies 0 \ge 24 \quad (\text{Yanlış})
(0,0) noktası bu eşitsizliği sağlamadığı için, d_1 doğrusunun orijini içermeyen tarafı (üst-sağ tarafı) taranır. Bu bölgede mavi ve sarı renkler yer alır.
Adım 3 — 2y - x \le 6 Eşitsizliğinin Bölgesini Bulma
d_2 doğrusu için orijini (0, 0) eşitsizlikte yerine yazalım:
2(0) - 0 \le 6 \implies 0 \le 6 \quad (\text{Doğru})
(0,0) noktası bu eşitsizliği sağladığı için, d_2 doğrusunun orijini içeren tarafı (alt-sağ tarafı) taranır. Bu bölgede sarı ve yeşil renkler yer alır.
Adım 4 — Ortak Bölgenin (Kesişimin) Belirlenmesi
Her iki eşitsizliğin aynı anda sağlandığı bölge, bulduğumuz alanların kesişimidir:
\{\text{Mavi, Sarı}\} \cap \{\text{Sarı, Yeşil}\} = \{\text{Sarı}\}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) sarı
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Test Noktası Yöntemi: Eşitsizlik grafiklerinde sınır doğrusu çizildikten sonra, doğrunun üzerinde olmayan bir nokta seçilip eşitsizlikte yerine koyulur. Sağlanıyorsa noktanın olduğu taraf, sağlanmıyorsa diğer taraf taranır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Eşitsizlik işaretine (\ge veya \le) bakarak her zaman “büyükse yukarısı, küçükse aşağısı” ezberi yapmak. Denklemlerde x ve y’nin katsayılarının işaretine bağlı olarak yön değişebilir.- Doğru Yaklaşım: En güvenli yol her zaman (0,0) gibi basit bir referans noktası seçip kontrol etmektir.
Benzer bir eşitsizlik sistemi grafiği sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?