Dik koordinat düzleminde A, B ve C noktaları aşağıda verilmiştir.
|AC| = |BC|
d_{1} ve d_{2} doğruları C noktasında kesiştikleri-ne göre orijinden geçen d_{2} doğrusunun eğimi kaçtır?
A) \frac{1}{2}
B) \frac{1}{3}
C) \frac{2}{3}
D) 2
E) \frac{3}{2}
Orijinden ve C Noktasından Geçen d_2 Doğrusunun Eğiminin Bulunması
KULLANILAN FORMÜLLER:
-
Orta Nokta Formülü: Uç noktaları A(x_1, y_1) ve B(x_2, y_2) olan doğru parçasının orta noktası C(x_0, y_0):
x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2} -
İki Noktadan Geçen Doğrunun Eğimi: O(x_1, y_1) ve C(x_2, y_2) noktalarından geçen doğrunun eğimi (m):
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — C Noktasının Koordinatlarını Bulma
|AC| = |BC| verildiğinden dolayı C noktası, A(0, 4) ve B(6, 0) noktalarının tam orta noktasıdır.
Orta nokta formülünü uygulayalım:
x_C = \frac{0 + 6}{2} = 3
y_C = \frac{4 + 0}{2} = 2
Buradan kesişim noktası C(3, 2) olarak bulunur.
Adım 2 — d_2 Doğrusunun Eğimini Hesaplama
d_2 doğrusu orijinden, yani O(0, 0) noktasından ve bulduğumuz C(3, 2) noktasından geçmektedir.
Eğim formülünü uygulayalım:
m = \frac{y_C - y_O}{x_C - x_O} = \frac{2 - 0}{3 - 0} = \frac{2}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) \frac{2}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Orta Nokta Analitiği
- Tanım: Bir doğru parçasının tam ortasında yer alan noktanın koordinatları, uç noktaların apsisleri ve ordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
- Bu problemde: A(0, 4) ve B(6, 0) noktalarının ortalaması alınarak C(3, 2) noktası elde edildi.
2. Doğrunun Eğimi
- Tanım: Bir doğrunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantıdır veya doğru üzerindeki iki nokta arasındaki düşey değişimin yatay değişime oranıdır (\frac{\Delta y}{\Delta x}).
- Bu problemde: Orijin (0,0) ile (3,2) noktaları arasındaki değişim oranı \frac{2}{3} olarak hesaplandı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Eğimi Hesaplarken Eksenleri Karıştırmak
- Yanlış: Eğim formülünü m = \frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{3}{2} şeklinde yazıp E seçeneğini işaretlemek.
- Doğru: Eğim daima düşeydeki değişimin yataydaki değişime oranıdır: m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{3}.
- Neden yanlış: Eğim formülü \tan(\alpha) = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} = \frac{y}{x} bağıntısından gelir, pay ve payda yer değiştirilmemelidir.
Analitik geometri ile ilgili benzer bir soru tipi çözerek bu kuralı pekiştirmek ister misin?