Şekilde ABCD dörtgen, |AB| = |BC| = 20 birimdir.
D noktasının BA ve BC doğrularına olan uzunlukları toplamı 17 birim olduğuna göre Alan(ABCD) kaç birimkaredir?
A) 130
B) 140
C) 150
D) 160
E) 170
Dörtgende Alan Parçalama ve Uzaklık Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Üçgenin Alan Formülü: \text{Alan} = \dfrac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}
- Alan Parçalama Yöntemi: Bir çokgenin alanı, ortak köşeden çizilen bir köşegen yardımıyla iki ayrı üçgenin alanları toplamı olarak yazılabilir:
\text{Alan}(ABCD) = \text{Alan}(ABD) + \text{Alan}(CBD)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Dörtgeni İki Üçgene Ayırma ve Yükseklikleri Tanımlama
B ve D noktalarını birleştiren [BD] doğru parçasını çizelim. Böylece ABCD dörtgeni, ABD ve CBD olmak üzere iki üçgene ayrılır.
- D noktasının BA doğrusuna olan dik uzaklığına h_1 diyelim. Bu uzaklık, ABD üçgeninin AB tabanına ait yüksekliğidir.
- D noktasının BC doğrusuna olan dik uzaklığına h_2 diyelim. Bu uzaklık, CBD üçgeninin BC tabanına ait yüksekliğidir.
Soruda verilen bilgiye göre:
h_1 + h_2 = 17\text{ birim}
Adım 2 — Üçgenlerin Alanlarını İfade Etme
Taban uzunlukları |AB| = 20\text{ birim} ve |BC| = 20\text{ birim} olarak verilmiştir. Her iki üçgenin alanını yazalım:
\text{Alan}(ABD) = \frac{|AB| \cdot h_1}{2} = \frac{20 \cdot h_1}{2} = 10 \cdot h_1
\text{Alan}(CBD) = \frac{|BC| \cdot h_2}{2} = \frac{20 \cdot h_2}{2} = 10 \cdot h_2
Adım 3 — Toplam Alanı Hesaplama
ABCD dörtgeninin toplam alanı bu iki üçgenin alanları toplamına eşittir:
\text{Alan}(ABCD) = \text{Alan}(ABD) + \text{Alan}(CBD)
\text{Alan}(ABCD) = 10 \cdot h_1 + 10 \cdot h_2 = 10 \cdot (h_1 + h_2)
h_1 + h_2 = 17 değerini yerine yazalım:
\text{Alan}(ABCD) = 10 \cdot 17 = 170\text{ birimkare}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 170
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Noktanın Doğruya Uzaklığı: Geometride bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı, o noktadan doğruya indirilen dikmenin uzunluğudur ve üçgende yükseklik görevi görür.
- Alan Parçalama: Tabanları bilinen ve bir köşesi ortak olan üçgenlerin alanları, ortak köşenin taban doğrularına olan dik uzaklıkları üzerinden kolayca toplanabilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Şekli özel bir dörtgen (eşkenar dörtgen veya paralelkenar) zannedip açı bulmaya çalışmak veya trigonometrik bağıntılara girmek.- Doğru Yaklaşım: Dörtgenin türü ne olursa olsun, [BD] çizildiğinde tabanlar eşit (20) olduğundan alanın doğrudan 10 \cdot (h_1 + h_2) geleceğini fark etmek.
Benzer bir geometri sorusuyla alan parçalama mantığını pekiştirmek ister misin?