D noktası ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktasıdır

Question Answer
1

12
X
16
D noktası ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktasıdır.
JAB| = 12 cm ve AC| = 16 cm, BC|= x cm
Yukarıdaki verilere göre, x’in alabileceği kaç farkiı tam
sayı değeri vardır?

12 X 16 D noktası ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktasıdır.
12 X 16 D noktası ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktasıdır.1024×768 64.5 KB

2

ABC Üçgeninde Kenar Bağıntıları ve Diklik Merkezi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir üçgende yüksekliklerin kesim noktası (diklik merkezi) üçgenin dış bölgesinde ise, o üçgen geniş açılı bir üçgendir ve diklik merkezi geniş açılı köşenin dış tarafında yer alır:
    m(\widehat{A}) > 90^\circ \implies x^2 > b^2 + c^2
  • Üçgen Eşitsizliği:
    |b - c| < x < b + c

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Açının Türünü Belirleme
D noktası ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktası (diklik merkezi) olarak verilmiştir. Diklik merkezi üçgenin dışında ve A köşesinin arkasında yer aldığı için A açısı bir geniş açıdır:

m(\widehat{BAC}) > 90^\circ

Adım 2 — Pisagor Bağıntısı ile Alt Sınırı Bulma
m(\widehat{A}) = 90^\circ olsaydı, ABC bir 12-16-20 özel dik üçgeni (3-4-5 üçgeninin 4 katı) olurdu.
Açı 90^\circ’den büyük olduğu için:

x^2 > 12^2 + 16^2
x^2 > 144 + 256
x^2 > 400 \implies x > 20\text{ cm}

Adım 3 — Üçgen Eşitsizliği ile Üst Sınırı Bulma
ABC üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki üçgen eşitsizliğini yazalım:

|16 - 12| < x < 16 + 12
4 < x < 28\text{ cm}

Adım 4 — Eşitsizlikleri Birleştirme ve Tam Sayı Değerlerini Sayma
Elde edilen iki eşitsizliğin kesişimini alalım:

20 < x < 28

Bu aralıktaki x tam sayı değerleri:

x \in \{21, 22, 23, 24, 25, 26, 27\}

Terim sayısı formülünden:

\text{Terim Sayısı} = 27 - 21 + 1 = 7\text{ tanedir.}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 7 farklı tam sayı değeri vardır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Diklik Merkezi (Ortosantr): Dar açılı üçgenlerde üçgenin içinde, dik üçgenlerde dik açının olduğu köşede, geniş açılı üçgenlerde ise üçgenin dış bölgesinde (geniş açının arkasında) yer alır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Sadece üçgen eşitsizliğini (4 < x < 28) dikkate alarak 27 - 5 + 1 = 23 değer bulmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Diklik merkezinin üçgenin dışında olmasının m(\widehat{A}) > 90^\circ koşulunu gerektirdiğini fark edip x > 20 sınırlamasını eklemek.

Geniş açılı üçgenlerde kenar-açı bağıntılarını pekiştirmek için benzer bir soru çözmek ister misin?