denklemini bulunuz.
ifadesinin eşitini bulunuz.
Soru Fotoğrafı:
d \int (4x + 1) \, dx İfadesinin Eşitini Bulma
KULLANILAN FORMÜL:
İntegral ve diferansiyel arasındaki temel ilişki şu formüle dayanır:
d \left( \int f(x) \, dx \right) = f(x) \, dx
Bu kurala göre, bir belirsiz integralin diferansiyeli (d), integral dışındaki fonksiyonun kendisi ile diferansiyel payının (dx) çarpımına eşittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İşlemin Mantığını Anlama
İfade bizden önce 4x + 1 fonksiyonunun integralini almamızı, ardından çıkan sonucun diferansiyelini (d) hesaplamamızı istemektedir. Diferansiyel operatörü (d) ile integral işareti (\int) birbirinin tersi işlemlerdir.
Adım 2 — Diferansiyel ve İntegral İlişkisini Uygulama
İntegral sembolü ve dx, bir fonksiyonun ters türevini temsil ederken; baştaki d sembolü bu ifadenin diferansiyelini alır.
d \left( \int (4x + 1) \, dx \right) = (4x + 1) \, dx
Adım 3 — Alternatif İspat (Kontrol)
İntegrali alırsak:
\int (4x + 1) \, dx = 2x^2 + x + C
Şimdi bu sonucun diferansiyelini alalım:
d(2x^2 + x + C) = (4x + 1) \, dx
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: (4x + 1) \, dx
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Diferansiyel (d)
- Tanım: Bir fonksiyonun türevi ile bağımsız değişkenin değişiminin (dx) çarpımıdır.
- Bu problemde: İntegral işleminin sonucunda elde edilen fonksiyonun türevi alınmış ve yanına dx eklenmiştir.
2. Belirsiz İntegral (\int ... dx)
- Tanım: Türevi verilen bir fonksiyonun aslını bulma işlemidir.
- Bu problemde: Diferansiyel işlemi integrali doğrudan sadeleştirmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece Fonksiyonu Yazmak
- Yanlış: 4x + 1
- Doğru: (4x + 1) \, dx
- Neden: Başta d (diferansiyel) işareti olduğu için sonuç mutlaka dx terimini içermelidir. Eğer soru \frac{d}{dx} \int ... şeklinde olsaydı sonuç sadece fonksiyon olurdu.
Bu tür diferansiyel ve integralin iç içe geçtiği diğer integral kuralları (örneğin \int d(f(x)) gibi) hakkında bir örnek çözmemi ister misin?