d_{1} \parallel d_{2}
[BE] ve [CE] açıortay
[AD] \perpd_{1}
|BE| = 6 cm
|CE| = 8 cm
olduğuna göre, |AD| kaç cm’dir?
A) 7,2
B) 10,8
C) 9,6
D) 10
E) 15
Paralel Doğrular Arasında Açıortay ve Dik Uzaklık Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Paralel iki doğru arasındaki karşı durumlu açıların açıortayları birbirini 90^\circ ile keser. Açıortay üzerindeki bir noktadan açının kollarına indirilen dikmeler eşit uzunluktadır. Bir dik üçgende alandan gelen Öklid bağıntısı a \cdot h = b \cdot c şeklindedir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — BEC Üçgeninin Dikliğini ve Hipotenüsünü Belirleme
d_1 \parallel d_2 olduğundan karşı durumlu açıların toplamı m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{BCD}) = 180^\circ olur. [BE] ve [CE] açıortay olduğundan:
m(\widehat{EBC}) + m(\widehat{ECB}) = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \implies m(\widehat{BEC}) = 90^\circ
BEC dik üçgeninde (6 - 8 - 10 özel üçgeni):
|BC| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}
Adım 2 — Açıortay Dikme Özelliği ile |AD| Uzaklığını Bulma
E noktasından [BC] kenarına indirilen dikmenin uzunluğuna h diyelim. Dik üçgenin alan bağıntısından:
|BE| \cdot |CE| = |BC| \cdot h \implies 6 \cdot 8 = 10 \cdot h \implies h = 4,8\text{ cm}
Açıortay kollarına indirilen dikmeler birbirine eşit olduğundan:
- [BE] açıortayından dolayı E’nin d_1 doğrusuna uzaklığı h’dir.
- [CE] açıortayından dolayı E’nin d_2 doğrusuna uzaklığı da h’dir.
[AD] \perp d_1 olduğundan |AD|, paralel d_1 ve d_2 doğruları arasındaki toplam dik uzaklıktır:
|AD| = h + h = 2h = 2 \cdot 4,8 = 9,6\text{ cm}
CEVAP: C) 9,6 (|AD| = 9,6\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Paralel iki doğru arasında kalan komşu iç açıortayların kesim noktasından paralel doğrulara olan toplam uzaklık, bu noktanın kesen doğruya (BC) olan dik uzaklığının daima 2 katına (2h) eşittir.