D cotx C

Question Answer
1
  1. Aşağıda birbirine çakışık ABCD ve BEFG kareleri verilmiştir.
    CotX
    3
    A)2
    G
    D cotx C
    Co
    Acoty B
    B)
    ton xE
    Yukarıdaki verilere göre |CE uzunluğu kaç birimdir?
    2
    V3
    tanx
    |FE| = tanx
    |DC| = cotx
    D) V2
    |AE| = 2 birim
    1
    E)T2

Aşağıda birbirine çakışık ABCD ve BEFG kareleri verilmiştir.
Aşağıda birbirine çakışık ABCD ve BEFG kareleri verilmiştir.1024×768 79.5 KB

2

Çakışık Karelerde Trigonometrik Uzunluk Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • \tan x \cdot \cot x = 1
  • (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \implies a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
  • Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende c^2 = a^2 + b^2

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Karelerin Kenar Uzunluklarının Belirlenmesi
ABCD ve BEFG birer kare olduğundan tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir:

  • ABCD karesinin kenar uzunluğu: |AB| = |BC| = |DC| = \cot x
  • BEFG karesinin kenar uzunluğu: |BE| = |EF| = \tan x

Şekilde A, B ve E noktaları doğrusal olduğundan:

|AE| = |AB| + |BE| = \cot x + \tan x = 2

Adım 2 — \cot^2 x + \tan^2 x İfadesinin Değerini Bulma
Bulduğumuz eşitliğin her iki tarafının karesini alalım:

(\cot x + \tan x)^2 = 2^2
\cot^2 x + 2 \cdot \cot x \cdot \tan x + \tan^2 x = 4

Trigonometrik özdeşliklerden \cot x \cdot \tan x = 1 olduğunu biliyoruz:

\cot^2 x + 2 \cdot (1) + \tan^2 x = 4
\cot^2 x + \tan^2 x = 4 - 2 = 2

Adım 3 — |CE| Uzunluğunun Hesaplanması
ABCD karesinde CB \perp AB olduğundan, A-B-E doğrusu üzerinde \angle CBE = 90^\circ olur. Dolayısıyla CBE bir dik üçgendir.

CBE dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım:

|CE|^2 = |BC|^2 + |BE|^2
|CE|^2 = \cot^2 x + \tan^2 x
  1. adımda bulduğumuz \cot^2 x + \tan^2 x = 2 değerini yerine yazarsak:
|CE|^2 = 2 \implies |CE| = \sqrt{2} \text{ birim}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) \sqrt{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • \tan x \cdot \cot x = 1 Özdeşliği: Aynı açı değerine sahip tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının çarpımı daima 1’e eşittir.
  • Tam Kare Açılımı: Toplamları verilen iki terimin kareleri toplamına ulaşmak için ifadenin tam karesi alınır ve çarpımlarının iki katı çıkarılır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: (\cot x + \tan x)^2 ifadesini açarken ortadaki 2 \cdot \cot x \cdot \tan x terimini unutup direkt \cot^2 x + \tan^2 x = 4 demek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Tam kare açılımını eksiksiz yaparak 2\cot x \tan x = 2 değerini eşitliğin diğer tarafına eksi olarak geçirmek.

Benzer bir trigonometri-geometri pekiştirme sorusu çözmek ister misin?