D 3 m Gergin ip 6 m |1m Yukarida Belediye’nin Afrika’dan ithal ettiği bir palmiye ağacı resmedilmiştir. O noktasından 6 m uzaklıkta, 1 m uzunluğunda bir demir çubuk dikiliyor. Ağacın dev- rilmemesi için yerden 3 m yükseklikteki bir noktadan gergin bir iple ağaç şekildeki gibi çubuğa bağlanıyor. Buna göre ağacın toprakla buluştuğu noktanın ori- jin kabul edildiği bir dik koordinat sisteminde ger- gin ipi üzerinde bulunduran doğrunun denklemini bulunuz.
SORU: Palmiye ağacının toprakla buluştuğu nokta orijin kabul edilerek, ger- gin ipin üzerinde bulunduğu doğrunun denklemi nedir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Doğrusu bilinen iki nokta üzerinden geçen doğrunun denklemi:
\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Koordinatları Belirle
- Ağacın toprağa temas noktası orijin (0,0)
- Ağacın ip bağlı olduğu yer yerden 3 m yükseklikte, yani (0,3)
- Demir çubuğun üst ucu, x-ekseni üzerinde 6 m uzaklıkta ve 1 m uzunlukta olduğu için ip, bu noktadan 1 m yukarıda siyah çizgi üzerinde (6,1) olur.
Adım 2 — Doğrunun Denklemini Kur
İp germe çizgisi (bağlantı noktaları) (0,3) ve (6,1) noktalarından geçiyor.
Eğim (m):
m = \frac{1 - 3}{6 - 0} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}
Adım 3 — Nokta-Eğim Formunu Kullan
y - y_1 = m(x - x_1)
y - 3 = -\frac{1}{3}(x - 0)
y - 3 = -\frac{1}{3}x
y = -\frac{1}{3}x + 3
CEVAP:
Doğrunun denklemi \displaystyle y = -\frac{1}{3}x + 3 tür.
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğru Denklemi
- İki nokta üzerinden geçen doğrunun eğimi ve denklem bulunur.
2. Koordinat Sistemi
- Orijin referans alınarak noktaların koordinatları belirlenir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: Ağacın toprakla buluştuğu noktanın (0,0) olduğu dik koordinat sisteminde, yerden 3 m yükseklikteki noktadan (0,3) çıkarılan gergin ipin, 6 m uzaklıktaki 1 m uzunluğundaki çubuğun tepe noktasıyla bağlanmasıyla elde edilen doğrunun denklemini bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Nokta-eğim formülü: y-y_1=m(x-x_1) ve eğim m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Noktaları belirle
Ağaçtaki bağlama noktası: (x_1,y_1)=(0,3).
Çubuğun tepe noktası: çubuğun tabanı ağaca 6 m uzaklıkta olduğuna göre taban (6,0) ve çubuğun uzunluğu 1 m olduğundan tepe noktası (6,1). Yani (x_2,y_2)=(6,1).
Adım 2 — Eğimi hesapla (m)
m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{1-3}{6-0}=\dfrac{-2}{6}=-\dfrac{1}{3}.
Adım 3 — Nokta-eğim formülünü uygula
y-y_1=m(x-x_1) formülüne (x_1,y_1)=(0,3) ve m=-\dfrac{1}{3} yerleştirilirse:
y-3=-\dfrac{1}{3}(x-0).
Adım 4 — (Sadeleştirme — final forma hazırlık)
y-3=-\dfrac{1}{3}x olduğundan y=-\dfrac{1}{3}x+3. Matematiksel olarak standart forma çevirmek istersek: 3y=-x+9 ⇒ x+3y-9=0.
TEMEL KAVRAMLAR:
- Eğim
- Tanım: İki nokta arasındaki doğrultu değişiminin yatay değişime oranı.
- Bu problemde: m=\dfrac{1-3}{6-0}=-\dfrac{1}{3}.
- Nokta-eğim formülü
- Tanım: Bir noktadan geçen ve eğimi bilinen doğrunun denklemini verir.
- Bu problemde: (0,3) noktası ve m=-\dfrac{1}{3} kullanıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Eğim işaretinin unutulması
- Yanlış: m=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} şeklinde pozitif alınması.
- Doğru: m=\dfrac{1-3}{6-0}=-\dfrac{1}{3}.
- Neden yanlış: Y farkı (1-3) negatif olduğu için eğim negatiftir.
- Düzeltme: y_2-y_1 işlemi doğru sırada yapılmalı.
Noktaların yanlış alınması
- Yanlış: Çubuğun tepe noktasını (6,0) almak.
- Doğru: Çubuğun tepe noktası (6,1).
- Neden yanlış: Çubuğun uzunluğu 1 m ve taban zemin olduğu için yükseklik 1 m eklenir.
- Düzeltme: Verilen uzunlukları eksiksiz hesaba katın.
CEVAP: y=-\dfrac{1}{3}x+3 (alternatif form: x+3y-9=0)
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?