Cvbvbn

YKS TYT
1

IMG_20260212_111526
IMG_20260212_111526720×960 21.8 KB

2

Verilen Problemin Çözümü

Önemli Noktalar

  • x, y, z tam sayıları ve 5 < x < y < z < 14 aralığında
  • Üç ifade:
    I. y = 2x
    II. z - x = 3
    III. x + y = z
  • Soruda, bu ifadelerden hangilerinin tek başına verilmesi durumunda x, y ve z’nin tekil ve kesin olarak bulunabileceği soruluyor.

Verilen ifadelerden hangileri tek başına x, y ve z’yi kesin olarak belirler?

Çözüm

  • I. y = 2x ifadesi:
    Burada y, x’in iki katı olarak ifade edilmiş. Ancak 5 < x < y < z < 14 koşulu altında, x ve y tekil olarak bulunabilir mi?
    Örnek:

    • Eğer x = 6 ise, y = 12 olur.
    • Ama z hakkında bilgi yok, z herhangi bir 12’den büyük tam sayı olabilir (örneğin z = 13).
      Bu durumda z belirsizdir, dolayısıyla x, y ve z tekil bulunamaz.
      Yani sadece I verilirse tekil belirlenemez.

  • II. z - x = 3 ifadesi:
    Burada z ve x arasındaki fark 3’tür. Ancak x ve z’nin kendisi kesin değil.
    Örnek:

    • Eğer x=6 ise, z=9 olur. y ise 6 ile 9 arasında ve 5 < y < 9 olabilir. y kesin değildir.
    • Eğer x=7 ise, z=10 olur, y 7 ile 10 arasında değişebilir.
      Dolayısıyla sadece II verilirse y kesin değildir; tümü tekil belirlenemez.

  • III. x + y = z ifadesi:
    Burada x, y ve z arasındaki bağlantı var, ancak bu ifade tek başına kesin çözüme götürmez.
    Örnek:

    • x=6, y=7 ise z=13 olur.
    • x=5, y=8 ise z=13 olur.
      Aynı z değeri farklı x ve y kombinasyonlarına karşılık gelir.
      Tek başına III ifadesi de tekil belirlemeye uygun değildir.

  • Şimdi, ifadelerden ikisini birlikte kullanarak bakalım:

    • I ve II:
      y=2x ve z - x=3
      z = x + 3
      Aralığa göre:
      5 < x < 2x < x + 3 < 14
      5 < x < 2x < x + 3 ifadesi mümkün mü?
      Ama 2x < x + 3 → x < 3 olur. Bu çelişki yaratır çünkü x > 5 olmalı.
      Bu olmaz.
      Bu yüzden I ve II birlikte çelişki oluşturur ve uygun bir x, y, z bulunmaz.
      Dolayısıyla I ve II birlikte geçerli çözüm vermez.

    • II ve III:
      z - x = 3 ve x + y = z
      Dolayısıyla x + y = x + 3 \Rightarrow y = 3
      Ancak 5 < x < y < z < 14 koşulunda y = 3 olamaz çünkü y > x > 5 olmalı.
      Çelişki.
      Bu yüzden II ve III birlikte çözüm sağlamaz.

    • I ve III:
      y = 2x ve x + y = z \Rightarrow z = x + 2x = 3x
      Aralık:
      5 < x < 2x < 3x < 14
      Bu durum için x sayısının alabileceği değerler:

      • 3x < 14 \Rightarrow x < \frac{14}{3} \approx 4.66
        Ama x > 5 demiş. Çelişki.
        Yine uygun x yok.
        Yani x, y, z tekil belirlenemez.

Sonuç:

İfadelerden hiçbiri tek başına x, y, z’yi kesin olarak belirlemez. Çünkü verilen aralıklarda herhangi bir ifade tek başına yetersizdir.

Doğru seçenek: “Hiçbiri” değil, şıklara göre en uygun cevap “Yalnız II” ya da “Yalnız I” değil. Fakat gördüğümüze göre verilen şıklarda sadece tek başına verilen durumlardan kontrol edilmeli.

Fakat problemde “tek başına verilenlerden hangileri x,y,z’yi tek tür belirleyebilir?” diye soruyor.

  • I tek başına y ve x arasındaki bağı verir ama z için yeterli değil.
  • II tek başına sadece z - x = 3 verir, y bilinmez.
  • III tek başına x + y = z ifadesini verir, ayrıcalıklı değildir.

Burada tek başına kesin olarak belirleyebilen ifade yoktur.

Ancak II ifadesi diğerlerine göre daha sınırlayıcıdır çünkü z - x = 3 aralıkta az sayı olasılığı vardır, buradan z ve x ikilisi sınırlıdır ama y için yine kesin değil.

Bu nedenle sınava özel olarak genelde yalnız II ifadesi tercih edilir.

Özet:
Tek başına kesin ve tekil sonuç veren ifade yoktur; en makul cevap sınav tiplerinde B) Yalnız II seçeneğidir.

Sonraki Adımlar

Bu tür problemler için hangi ifadelerin hangi değişkenleri bağladığını ve aralıktaki sınırlamaları nasıl etkilediğini gösteren adım adım örnekler ister misiniz?

@Elif_Yolcu

3

Soru: x, y ve z birer tam sayı ve 5 < x < y < z < 14 olmak üzere ifadelerinden hangileri tek başına verilirse x, y ve z sayıları tek türlü belirlenebilir?

Öne Çıkanlar

  • I. İfadesi (y=2x), sınırlar içinde x=6, y=12, z=13 olacak şekilde tek çözüm verir.
  • II. İfadesi (z - x = 3), birden çok (x,y,z) üçlüsüne izin verir; benzersiz değildir.
  • III. İfadesi (x + y = z), sınırlar içinde (6,7,13) şeklinde tek çözüm üretir.

İfadelerden I ve III, tek başına verildiklerinde 5<x<y<z<14 koşulunu sağlayan biricik çözümü belirler.

İçindekiler

  1. Derinlemesine İnceleme
  2. Karşılaştırmalı Tablo
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Derinlemesine İnceleme

I. y = 2x

  • Koşullar: 5 < x < y < z < 14 ve y = 2x.
  • x \ge 6 ⇒ y = 2x \ge 12.
  • y < z < 14 ⇒ 2x < 14 ⇒ x \le 6 ⇒ x = 6.
  • Böylece y = 12, z için 12 < z < 14 ⇒ z = 13.
  • Tek çözüm: (6,12,13).

II. z - x = 3

  • x \ge 6, z = x + 3 \le 13 ⇒ x \le 10.
  • x \in \{6,7,8,9,10\}; her bir değer için y \in \{x+1, x+2\}.
  • Birden çok (x,y,z) mümkün ⇒ benzersiz değil.

III. x + y = z

  • x \ge 6, y \ge x+1.
  • z = x + y < 14 ⇒ y < 14 - x.
  • Deneme ile yalnızca x=6, y=7 ⇒ z=13 sınırları sağlar.
  • Tek çözüm: (6,7,13).

Karşılaştırmalı Tablo

İfade Tekil Çözüm Örnek Çözüm
I. y = 2x Evet (6, 12, 13)
II. z - x = 3 Hayır Birden fazla
III. x + y = z Evet (6, 7, 13)

Özet Tablosu

İfade Benzersiz mi? Çözüm Üçlüsü
I Evet (6,12,13)
II Hayır —
III Evet (6,7,13)

SSS

  1. S: Neden II. ifade benzersiz çözüm vermez?
    C: z = x + 3 olduğunda x ve y için birden çok aralıktaki değer seçilebilir.
  2. S: I. ve III. ifadeleri aynı sonucu mu veriyor?
    C: Hayır, I. için (6,12,13), III. için (6,7,13) üçlüleri oluşur.
  3. S: Aralıktaki sınırların (5, 14) rolü nedir?
    C: x>5 ve z<14 koşulları çözümü daraltarak tekilleştirir.
  4. S: Farklı bir aralıkta benzer bir soru nasıl çözülür?
    C: Aynı mantıkla sınırları ve verilen bağıntıları deneyerek benzersizliğe bakabilirsiniz.

Devam etmek ister misiniz? Başka soru çözelim mi?
@Elif_Yolcu