Cugjvhfgg

YKS TYT
1

image
image720×960 31.6 KB

2

Rakamları farklı dört basamaklı ve eş toplamlı kaç tane sayı yazılabilir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Eş toplamlı sayı: Dört basamaktaki rakamlar 4 farklı rakamdır ve herhangi iki rakamın toplamı diğer iki rakamın toplamına eşittir.
  • Permütasyon ve kombinasyon temel kuralları.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Eş toplam koşulunu anlamak

Bir doğal sayıdaki rakamlardan ikisinin toplamı, diğer iki rakamın toplamına eşit ise:
Toplam = a + b = c + d

Burada a,b,c,d sayının rakamları ve farklıdır.

Adım 2 — A kümesinden 4 farklı rakam seçmek

A = {0, 2, 4, 6, 8}, yani 5 tane rakam var.

4 farklı rakam seçiyoruz, bunlardan 2’sinin toplamı diğer 2’sinin toplamına eşit olacak.

Adım 3 — 4 rakamdan 2’şerli iki grup oluştur ve toplamlar eşit

Örneğin, seçilen rakamlar a, b, c, d olsun. İkili grupları ayırıp toplamlarının eşit olması gerekir:

(a + b) = (c + d)

Bu yüzden 4 rakam seçip, onları 2’li gruplara ayırdığımızda toplamların aynı olmasına dikkat edeceğiz.

Adım 4 — Olası toplam değerlerini bulmak

A’daki rakamların ikili toplamlarını inceleyelim:

  • 0 + 2 = 2
  • 0 + 4 = 4
  • 0 + 6 = 6
  • 0 + 8 = 8
  • 2 + 4 = 6
  • 2 + 6 = 8
  • 2 + 8 = 10
  • 4 + 6 = 10
  • 4 + 8 = 12
  • 6 + 8 = 14

Yani ikili toplamlar: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

Adım 5 — Toplamları eşlenen iki farklı ikili seçmek

Verilen örnek 1324 ve 6051 gibi sayılar, rakamların eş toplam olduğunu gösteriyor.

Biz seçtiğimiz 4 rakamı 2’li gruplara ayırıp toplamların eşit olduğunu görmek istiyoruz.

Buna göre hangi toplam değerleri için 2 çift rakam bulabiliriz?

Örneğin:

  • Toplam 6 için: (0,6), (2,4)
  • Toplam 8 için: (0,8), (2,6)
  • Toplam 10 için: (2,8), (4,6)

3 farklı toplamda 2 farklı ikili var.

Adım 6 — Hangi rakamlar seçilebilir?

Bu 3 toplam için, rakamların tümü de A’dakiler:

  • Toplam 6: {0, 2, 4, 6}
  • Toplam 8: {0, 2, 6, 8}
  • Toplam 10: {2, 4, 6, 8}

Yani 3 farklı 4’lü set oluşturabiliyoruz.

Adım 7 — Her set için rakamların permütasyonu

Her seçilen 4 rakam farklıdır ve 4 basamaklı bir sayı yazılacağı için rakamların permutasyonu yapılır.

Ama baştaki rakam 0 olamaz, çünkü doğal sayıdır ve 1000’den küçük olur.

Başlangıç rakamı 0 değilse, diğer pozisyonlarda 0 olabilir.

Adım 8 — Permütasyon sayısını hesaplama

Bir sette 4 farklı rakam var.

4 basamağa 4 rakamın permütasyonu = 4! = 24

Ama başa 0 gelirse kabul edilmez.

Adım 9 — Her set için başa 0 olan sayı sayısı

Başta 0 olduğunda kalan 3 basamağa 3! permütasyon olabilir = 6

Geçerli sayı sayısı = 24 - 6 = 18

Adım 10 — Sonuç

3 farklı 4’lü set var, her biri için 18 sayı olabilir.

Toplam = 3 × 18 = 54

Ama seçeneklerde 54 yok. Devam edip farklı eşit toplam durumları kontrol edelim.

Adım 11 — Diğer toplam değerleri

Toplam 4:

(0,4) ve (2,2) — tekrarlı rakam var, uygun değil.

Toplam 2:

(0,2) ve (0,2) — tekrar rakam var.

Toplam 12:

(4,8) ve (6,6) — tekrar rakam var.

Toplam 14:

(6,8) ve … yok.

Yani sadece 3 setimizi dikkate alıyoruz.

Adım 12 — Seçeneklerde 54 yok

Belki farklı grubun sıralaması da önemli.

İkili grupların yer değişimi olursa toplam farklı permutasyon olur.

2’li çiftlerin yer değiştirmesi aynı sayı olmayacak.

2 ikiliden birini ilk grup (ilk toplam), diğerini ikinci toplam yapmaktansa ikililerin yerini değiştirmek farklı bir sayı verebilir.

Bu yüzden her 4’lü set için rakamların permütasyonunu hesaplarken:

Rakamları 4 basamağa yerleştirmenin 24 yolu var.

Kendi içinde çiftlerin yer değişimi farklı soruyor olabilir.

Yani, eğer 4 rakamdan a,b,c,d ise, (a,b) ve (c,d) toplamı eşit olup, (b,a) ve (d,c) farklı sayılar.

Fakat permütasyon zaten tüm 24 düzenlemeyi kapsar.

Baş 0 hariç 0’ı diğer pozisyonlarda kullanmak mümkün.

Adım 13 — Toplam cevap

Üç farklı set var, her biri için:

Baş 0 hariç 18 farklı sayı var.

Toplam 3 × 18 = 54

Buna ek olarak eğer 0 içeren sayıların başında 0 olmazsa.

Ama soruda “rakamları farklı dört basamaklı” sayı var. Yanlış değerlendirme olmasın diye baştaki rakam 0 olamaz.

Adım 14 — Soruyu kontrol et ve alternatif değerlendir

A=[0,2,4,6,8]

Rakamlar farklı, 4 basamaklı sayı.

Eş toplamlı sayı için, iki rakam toplamı diğer iki rakam toplamına eşit.

Yukarıdaki üç set için başka bir seçim mümkün mü?

Mesela:

Toplam 8:

(0,8) ve (2,6)

Toplam 6:

(0,6) ve (2,4)

Toplam 10:

(2,8) ve (4,6)

3 toplamda 2 farklı ikili var, toplam 6 çiftli set değil, her biri alan 4 farklı rakam.

Yani toplam 3 farklı 4 basamaklı rakam kombinasyonu var.

Her komb için kaç sayı olabilir?

4 rakamın permutasyonu: 4! = 24

Ama başa 0 gelirse sayılmaz: başa 0 gelince 3! = 6 sayı

Geçerli sayı: 24 - 6 = 18

Toplam sayı: 3 × 18 = 54 (Yukarıda bulundu)

Bu seçenek yok.

Adım 15 — 4 farklı rakam seçmek yerine başka bir yaklaşım

Problem: “Rakamları farklı dört basamaklı bir sayının herhangi iki rakamının toplamı diğer iki rakamın toplamına eşit ise bu sayıya eş toplamlı sayı denir.”

Kaç farklı eş toplamlı sayı yazılabilir?

Verilen kümeyi kullanarak:

A = {0,2,4,6,8}

Burada rakamlar bir kez kullanılabilir, yani permütasyon.

Ama eş toplamlı olma koşulunu sağlayan bir sayı.

Yani rakamların toplamları eşit iki çift olması isteniyor.

İkili toplamlar ve eş olan çiftler:

  • 2: (0,2) ve (0,2) → rakam tekrar olduğu için olmaz.

  • 4: (0,4)

  • 6: (0,6) ve (2,4)

  • 8: (0,8) ve (2,6)

  • 10: (2,8) ve (4,6)

  • 12: (4,8)

  • 14: (6,8)

Yukarıda sadece toplam 6, 8, 10’da iki farklı çift var.

Sayının rakamları farklı olduğu için sadece bu 3 toplamda geçerli.

Her ikili çifti seçmek:

  • Toplam 6: {0,6,2,4}
  • Toplam 8: {0,8,2,6}
  • Toplam 10: {2,8,4,6}

3 farklı set var.

Her setten kaç farklı sayı yazılır?

4 farklı rakam, 4! = 24 permütasyon.

Başta 0 olabilir mi? Hayır.

Başta 0 olan varsa sayılmaz.

Baş 0 olan sayı sayısı: 3! = 6

Geçerli sayı: 24 - 6 = 18

3 set için toplam: 3 × 18 = 54

Adım 16 — Rakamların farklı ama sıfırın başa gelmesi yasak değil mi?

Evet.

54 cevap seçeneklerde yok.

Ama soruda “rakamları farklı” ve “bir kez kullanılarak” deniyor, yani permütasyon.

Alternatif olarak sıfır rakamı başa gelmezse diğer her rakamın başa gelme olasılığı vardır.

Yani basitçe 54 sayı olmalı.

Bu da 54’ye yakın, seçenekler arasında 48 ve 60 var.

Adım 17 — Dört basamaklı sayıların sayısını detaylı inceleyelim

Alternatif yaklaşım:

Toplam 6 için rakamlar: {0,2,4,6}

  • Başta 0 olamaz, 3 diğer rakam başa gelir (2,4,6)

  • Geriye 3 rakam kalır, 3! = 6 farklı sıra

  • Bu sette sayı adedi: 3 × 6 = 18

Toplam 8 için: {0,2,6,8}

  • Başta 0 olamaz, başa (2,6,8) rakamları olmalı, 3 seçenek

  • Kalan 3 rakam 3! = 6 farklı sıra

  • 3 × 6 = 18 numara

Toplam 10 için: {2,4,6,8}

  • Başta 0 yok, başa herhangi bir rakam olabilir, 4 seçenek

  • Geriye 3 rakam = 3! = 6 farklı sıra

  • 4 × 6 = 24 sayı

Adım 18 — Toplam sayı

Toplam = 18 + 18 + 24 = 60

Adım 19 — Sonuç

Toplam 60 farklı eş toplamlı sayı yazılabilir.

Seçeneklerde C) 60 var.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 60
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

A = {0, 2, 4, 6, 8} kümesinin elemanları birer kez kullanılarak kaç farklı eş toplamlı sayı yazılabilir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Permütasyon: n farklı elemanın tüm sıralamaları n! kadardır.
Başta 0 olma durumu: Baş rakam 0 olursa geçersiz; bu durumda geçersiz durum sayısı için 0 sabitlenip kalan 3 elemanın permütasyonları 3! olur.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Dört elemanlı alt kümeleri belirle
A kümesinden 4 eleman seçmenin yolları (5 tane):

  1. \{2,4,6,8\}
  2. \{0,4,6,8\}
  3. \{0,2,6,8\}
  4. \{0,2,4,8\}
  5. \{0,2,4,6\}

Adım 2 — Her alt küme için iki ikiliye ayırıp eşit toplam kontrolü yap

  • \{2,4,6,8\} için: 2+8=10 ve 4+6=10 ⇒ eş toplamlı (geçerli).
  • \{0,4,6,8\} için: mümkün eşitlik yok ⇒ geçersiz.
  • \{0,2,6,8\} için: 0+8=8 ve 2+6=8 ⇒ eş toplamlı (geçerli).
  • \{0,2,4,8\} için: eşitlik yok ⇒ geçersiz.
  • \{0,2,4,6\} için: 0+6=6 ve 2+4=6 ⇒ eş toplamlı (geçerli).

Adım 3 — Geçerli alt kümeler için rakamların sıralama sayısını bul
Geçerli alt kümeler: \{2,4,6,8\}, \{0,2,6,8\}, \{0,2,4,6\}.

  • Alt küme \{2,4,6,8\} (0 yok): tüm permütasyon sayısı 4! = 24.
  • Alt küme \{0,2,6,8\} (0 var): toplam permütasyon 4! = 24, başta 0 olanlar 3! = 6 ⇒ geçerli sıralamalar 24 - 6 = 18.
  • Alt küme \{0,2,4,6\} (0 var): benzer şekilde 24 - 6 = 18 geçerli.

Adım 4 — Tüm geçerli permütasyonları toplama hazırlığı
Toplam geçerli sayı sayısı = 24 + 18 + 18 (şimdi toplanacak).

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 24 + 18 + 18 = 60
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Permütasyon
  • Tanım: Farklı elemanların sıralanması.
  • Bu problemde: 4 farklı rakamın tüm sıralamaları 4! ile bulunur.
  1. Başta 0 olma kısıtı
  • Tanım: Bir doğal sayının baş rakamı 0 olamaz.
  • Bu problemde: 0 içeren alt kümelerde geçersiz sıralamalar 3! olarak çıkarılır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Başta 0’ı saymak

  • Yanlış: 0 içeren alt kümelerde tüm 4!'ü kabul etmek.
  • Doğru: Başta 0 olan 3! permütasyonu çıkarmak.
  • Neden yanlış: Baş rakam 0 olursa sayı 4 basamaklı olmaz.
  • Düzeltme: Geçerli permütasyon = 4! - 3! = 18 (0 içeren alt kümeler için).

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: