Çözümler: YKS Matematik Soruları 25, 26 ve 27
25. Soru
Soru:
Güvercin başlangıç noktasından önce A, sonra B noktasına gidip tekrar başlangıç noktasına dönüyor.
Arda’nın ölçtüğü mesafeler sırasıyla 50 km, 72 km ve 98 km.
Güvercinin başlangıç noktasından başlayıp geri gelene kadar aldığı toplam mesafe tam sayı olarak yaklaşık kaç km’dir?
Çözüm:
-
Güvercin A noktasına gitmeden önce başlangıç noktası ile A arasındaki mesafe verilmemiş, ancak güvercinin hareket sırasına göre 3 mesafe ölçülmüş:
- Başlangıç’tan A’ya: 50 km
- A’dan B’ye: 72 km
- B’den başlangıç’a: 98 km
-
Doğrudan aradaki mesafeler verilmiş, toplam mesafe:
50 + 72 + 98 = 220 \text{ km} -
Ancak soru tam sayı olarak yaklaşık “kaç km” diye sormakta ve başlangıç noktasından önceki mesafeyle ilgili bir eksik bilgi var gibi. Soruda “başlangıç noktasından önce A” ifadesi kafa karıştırabilir.
-
Burada dikkat edilmesi gereken, güvercinin hareketinin başlangıç noktası ile A arasındaki mesafe ve A ile B arasındaki mesafe, ve B ile başlangıç noktası arasındaki mesafe yerine verilen sayılar mesafeler midir?
-
Verilen mesafeler:
- 50 km
- \sqrt{72} km (burada \sqrt{72} ifadesi var mı, yoksa 72 mi? Görselde net değil.)
- \sqrt{98} km (burada da öyle)
-
Eğer verilen mesafeler sırasıyla 50, \sqrt{72} ve \sqrt{98} ise, o zaman toplam mesafe şöyle olur:
50 + \sqrt{72} + \sqrt{98} -
Burada \sqrt{72} \approx 8.485 ve \sqrt{98} \approx 9.899
-
Toplam mesafe:
50 + 8.485 + 9.899 = 68.384 \text{ km} -
Ancak buradaki toplam mesafe güvercinin bir tur attıktan sonra aldığı mesafeye tam sayı olarak yaklaşık kaç km oldu sorulmakta.
-
Ancak soruda, güvercin başlangıç noktasından önce A noktasına, sonra B noktasına gidiyor ve tekrar başlangıç noktasına dönüyor. Güvercin bu yolu şeklinde izlediği için 3 parçadan oluşan yol:
Başlangıç → A, A → B, B → Başlangıç -
Soruda verilen mesafeler görünüşe göre:
Başlangıç => A: 50 km
A => B: \sqrt{72} km
B => Başlangıç: \sqrt{98} km -
\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6 \sqrt{2} \approx 8.485
-
\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7 \sqrt{2} \approx 9.899
-
Toplam: 50 + 8.485 + 9.899 = 68.384 km
-
Bu değer küsuratlı, yakın tam sayı 68 km.
-
Fakat şıklarda 22,23,24,25,26 var.
-
Bu da bir hata olduğunu düşündürüyor.
-
Görselde metinde:
“Arda, güvercinin bu noktalar arasında aldığı mesafeleri sırasıyla 50 km, \sqrt{72} km ve \sqrt{98} km olarak ölçüyor” -
Peki başlangıç noktası önce A’ya gitmeden önce bir hedef var mı?
-
Resimde güvercin rotası şekil olarak verilmiş. Genelde burada mesafeler üç parçaya ayrılır ama eğer 50 km bir parça ise diğerleri kareköklerle verilip toplanacak denmiş olabilir. Ama çıkan toplam sonuç şıklara uymuyor.
-
Muhtemelen sorunun amacı güvercinin başlangıç noktasından çıkıp tekrar başlangıç noktasına dönene kadar aldığı toplam mesafeyi tam sayı olarak yaklaşık belirtmek.
-
Fakat soruda verilen mesafeler tam tersi gösterilmiş olabilir:
50 km, 72 km ve 98 km yuvarlanmış değerler değil de
50 km sabit mesafe, 72 km ve 98 km karekökleri değil midir? -
Eğer \sqrt{72} km ve \sqrt{98} km olarak ifade ediliyorsa:
- \sqrt{72} \approx 8.49 km
- \sqrt{98} \approx 9.9 km
-
O halde toplam mesafe:
50 + 8.49 + 9.9 = 68.39 \approx 68 \text{ km} -
Şıklara bakılırsa 22, 23, 24, 25, 26 seçeneği var. Bu da mümkün değil.
-
Bu durumda yanlış anlaşılmış olabilir. Güvercinin mesafeleri sırasıyla 50 km, 72 km ve 98 km ise toplama gerek yok, sırayla gidiyor ve tekrar başa geliyor yani toplam yol:
50 + 72 + 98 = 220
-
Şıklarda 220 yerine 22 gibi bir sayı varsa, belki km değil birim farklı olabilir veya soru ikinci satırdaki mesafeler ile ilgili.
Sonuç:
Buradaki tek sağlıklı yaklaşım şu olur:
Mesafeler:
- Başlangıç → A: 50 km
- A → B: 72 km
- B → Başlangıç: 98 km
Toplam yol:
50 + 72 + 98 = 220 \text{ km}
Bu da şıklarda yok.
Belki soruda uzaklıklar km değil farklı birim olabilir ve sonucu km’ye çevirmek lazım.
Ama soru metni tam olarak net değil. Bu durumda sorunun tam çözümüne geçelim kısmı belirsiz.
Özet:
- Eğer mesafeler sırasıyla 50, \sqrt{72} ve \sqrt{98} km ise toplam mesafe yaklaşık 68 km.
- Eğer mesafeler 50 km, 72 km ve 98 km ise toplam 220 km. Şıklarda yok.
Sonuç şıkkı soruya göre değişir, ancak verilen soruya göre toplam mesafe yaklaşık 220 km’dir.
26. Soru
Soru:
\frac{1}{2 - \sqrt{3}} - \frac{1}{2 + \sqrt{3}}
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
İfadeyi sadeleştirelim:
\frac{1}{2 - \sqrt{3}} - \frac{1}{2 + \sqrt{3}}
Her kesiri payda eşitleyerek ya da önce paydalardan kurtularak çözelim.
Paydaları eşitlediğimizde:
\frac{1}{2-\sqrt{3}} - \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}
Payın açılımı:
(2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}
Paydanın çarpımı (a-b)(a+b):
(2)^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1
Böylece sonuç:
\frac{2\sqrt{3}}{1} = 2\sqrt{3}
Doğru cevap: D) 2\sqrt{3}
27. Soru
Verilen:
A = \sqrt{12} - 1
İfadeler:
I. (1 - \sqrt{3}) ile toplandığında sonuç irrasyonel sayı olur.
II. (2\sqrt{3} + 1) ile bölündüğünde sonuç rasyonel sayı olur.
III. (2\sqrt{3} + 1) ile çarpıldığında sonuç tam sayı olur.
Soru: İfadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
Çözüm:
Önce A'yı sadeleştirelim:
\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2 \sqrt{3}
dolayısıyla,
A = 2 \sqrt{3} - 1
I. ifade:
(A) + (1 - \sqrt{3})
= (2 \sqrt{3} - 1) + (1 - \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3} - 1 + 1 - \sqrt{3} = (2 \sqrt{3} - \sqrt{3}) + (-1 + 1) = \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}
\sqrt{3} ise irrasyonel bir sayıdır.
I doğru.
II. ifade:
\frac{A}{2\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{3} + 1}
Bunu rasyonel sayı yapalım:
Pay ve paydayı eşleniği ile çarparız:
\frac{2 \sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{3} + 1} \times \frac{2 \sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{3} - 1} = \frac{(2 \sqrt{3} - 1)^2}{(2 \sqrt{3})^2 - 1^2}
Pay:
(2 \sqrt{3} - 1)^2 = (2 \sqrt{3})^2 - 2 \times 2\sqrt{3} \times 1 + 1^2 = 4 \times 3 - 4 \sqrt{3} + 1 = 12 - 4 \sqrt{3} + 1 = 13 - 4 \sqrt{3}
Payda:
(2 \sqrt{3})^2 - 1 = 4 \times 3 - 1 = 12 - 1 = 11
Yani ifade:
\frac{13 - 4\sqrt{3}}{11} = \frac{13}{11} - \frac{4 \sqrt{3}}{11}
Karekök içeren terim çıkıyor, yani sonuç irrasyonel.
II yanlış.
III. ifade:
A \times (2 \sqrt{3} + 1) = (2 \sqrt{3} -1)(2 \sqrt{3} + 1)
İki terimi çarpalım:
(2 \sqrt{3})^2 - 1^2 = 4 \times 3 - 1 = 12 - 1 = 11
Bu sonuç tam sayıdır.
III doğru.
Sonuç:
| İfade | Doğru mu? |
|---|---|
| I | Doğru |
| II | Yanlış |
| III | Doğru |
Yani I ve III doğru bildirir.
Cevaplar:
| Soru No | Doğru Cevap |
|---|---|
| 25 | Toplam mesafe yaklaşık 220 km* (şıklar uymaz, soruya göre belirsiz) |
| 26 | D) 2\sqrt{3} |
| 27 | D) I ve III |
Özet Tablo
| Soru | İşlem / Açıklama | Sonuç / Doğru Şık |
|---|---|---|
| 25 | Toplam mesafe: 50 + 72 + 98 = 220 km (soru belirsiz) | Yaklaşık 220 km (şıklar yok) |
| 26 | \frac{1}{2-\sqrt{3}} - \frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} | D şıkkı: 2\sqrt{3} |
| 27 | A = 2\sqrt{3} -1 I ve III doğru |
D şıkkı: I ve III |
Eğer sorunun 25. sorusunu daha net görmek isterseniz tekrar bana yazabilirsiniz, daha ayrıntılı yardımcı olurum.
25. Güvercinin Toplam Uçuş Mesafesi Yaklaşık Kaç km’dir?
Arda, güvercinin sırasıyla √50 km, √72 km ve √98 km’lik mesafeler kat ettiğini ölçüyor.
Toplam mesafe:
\sqrt{50} + \sqrt{72} + \sqrt{98}
-
Karekökleri sadeleştirelim:
- \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
- \sqrt{72} = 6\sqrt{2}
- \sqrt{98} = 7\sqrt{2}
-
Toplayalım:
5\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 7\sqrt{2} = (5+6+7)\sqrt{2} = 18\sqrt{2} -
Yaklaşık değeri bulalım:
18 \times 1{,}414 \approx 25{,}45
Buna göre en yakın tam sayı 25 olur.
Cevap: D) 25
26. \displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{3}} - \frac{1}{2+\sqrt{3}} İşlemi
İşlemi ortak payda kullanarak çözelim:
-
Paydaları çarparız:
(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1 -
Üstü toplarız/çıkarırız:
\frac{1}{2-\sqrt{3}} - \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{1} - \frac{2-\sqrt{3}}{1} = (2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}
Sonuç 2\sqrt{3}’tür.
Cevap: D) 2\sqrt{3}
27. A = \sqrt{12} - 1 Sayısı ve İfadelerin Doğruluğu
İfadeleri teker teker inceleyelim.
Önce $A$’yı sadeleştirelim:
A = \sqrt{12} - 1 = 2\sqrt{3} - 1
I. (1 - \sqrt{3}) ile toplandığında:
A + (1 - \sqrt{3})
= (2\sqrt{3} - 1) + 1 - \sqrt{3}
= \sqrt{3}
\sqrt{3} irrasyoneldir ⇒ Doğru.
II. (2\sqrt{3} + 1) ile bölündüğünde:
\frac{A}{2\sqrt{3} + 1}
= \frac{2\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3} + 1}
\cdot \frac{2\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3} - 1}
= \frac{(2\sqrt{3}-1)^2}{12 - 1}
= \frac{13 - 4\sqrt{3}}{11}
13-4\sqrt{3} ifadesi irrasyonel ⇒ sonuç irrasyoneldir ⇒ Yanlış.
III. (2\sqrt{3} + 1) ile çarpıldığında:
A \times (2\sqrt{3} + 1)
= (2\sqrt{3} - 1)(2\sqrt{3} + 1)
= 12 - 1 = 11
Tam sayı ⇒ Doğru.
Doğru ifadeler I ve III olduğuna göre cevap şıkkı D) I ve III.
Özet Tablo
| Soru | İfade / Hesaplama | Sonuç | Şık |
|---|---|---|---|
| 25 | 5\sqrt{2}+6\sqrt{2}+7\sqrt{2}=18\sqrt{2}\approx25{,}45 | \approx25 | D |
| 26 | \frac{1}{2-\sqrt3}-\frac{1}{2+\sqrt3}=2\sqrt3 | 2\sqrt3 | D |
| 27 | Doğru ifadeler: I ve III | – | D |