Çözümünü bulamadım

KPSS
1

a, b ve c pozitif tam sayiları için
ab =8
la - b| = 2
b-

c = 6

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, c sayısınin alabileceği farkiı değerlerin
toplamı kaçtır?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
(2019-KPss)

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 107 KB

2

a, b ve c pozitif tam sayıları için verilen denklemlerin çözümü

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
Bu soruda tam sayılarda çarpanlara ayırma ve mutlak değer özelliklerini kullanacağız. Mutlak değer |x-y|=k ifadesi, x-y=k veya x-y=-k durumlarını temsil eder.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — a ve b değerlerini belirleme
Verilen ilk iki eşitliği kullanalım:

  1. a \cdot b = 8
  2. |a - b| = 2

a ve b pozitif tam sayılar olduğuna göre çarpımları 8 olan ikilileri inceleyelim:

  • a=1, b=8 \implies |1-8|=7 (Sağlamaz)
  • a=2, b=4 \implies |2-4|=2 (Sağlar)
  • a=4, b=2 \implies |4-2|=2 (Sağlar)
  • a=8, b=1 \implies |8-1|=7 (Sağlamaz)

Bu durumda b sayısı 2 veya 4 değerini alabilir.

Adım 2 — b = 2 durumu için c değerlerini bulma
Eğer b=2 ise, |b - c| = 6 denkleminde yerine koyalım:
|2 - c| = 6
Buradan iki ihtimal çıkar:

  • 2 - c = 6 \implies c = -4 (Ancak c pozitif tam sayı olmalı, bu değer elenir.)
  • 2 - c = -6 \implies c = 8 (Geçerli değer)

Adım 3 — b = 4 durumu için c değerlerini bulma
Eğer b=4 ise, |b - c| = 6 denkleminde yerine koyalım:
|4 - c| = 6
Buradan iki ihtimal çıkar:

  • 4 - c = 6 \implies c = -2 (Ancak c pozitif tam sayı olmalı, bu değer elenir.)
  • 4 - c = -6 \implies c = 10 (Geçerli değer)

Adım 4 — c sayısının alabileceği değerlerin toplamı
Bulduğumuz geçerli c değerleri: 8 ve 10.
Toplam: 8 + 10 = 18

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 18 (E seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Mutlak Değer

  • [Tanım:] Bir sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığıdır.
  • [Bu problemde:] |b-c|=6 ifadesi, b ile c arasındaki farkın 6 birim olduğunu gösterir.

2. Pozitif Tam Sayı Şartı

  • [Tanım:] \{1, 2, 3, ...\} kümesinin elemanlarıdır.
  • [Bu problemde:] İşlemler sonucunda bulduğumuz -4 ve -2 değerlerini bu şart nedeniyle eledik.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Negatif değerleri dahil etmek

  • [Yanlış:] c değerlerini -4, 8, -2, 10 alıp hepsini toplamak.
  • [Doğru:] Sorunun başındaki “pozitif tam sayılar” uyarısını dikkate alarak sadece 8 ve 10 değerlerini toplamak.
  • [Neden yanlış:] Soruda sayı kümesi (pozitif tam sayılar) kısıtlanmıştır, bu kısıtlamaya uymayan değerler çözüm kümesine alınamaz.

Bu çözümde takıldığın veya benzer mantıkla çözmemi istediğin başka bir soru var mı?