Çözümüne ne gibi kolayliklar sağlayacağını değerlendiriniz

Question Answer
1

çözümüne ne gibi kolayliklar sağlayacağını değerlendiriniz.
c) BC:D açısınin ölçüsü bulunurken dörigende açı özelliklerinin kullanilmasınin sorunun
b) BCD acısınn ölcüsünün kaç derece olduğunu dötgenin açı Özeliklerirn, kullanarak bulunuz.
nün kaç derece olduğu bulununabilir mi?
sorusu üzerine sInif arkadaslarınızla tartisınz.
a) Uçgende açı Özellikleri kullanilarak "Uçgende açı özoilikleri kullanilarak BCD açı ölçüsü-
Buna göre
Görsel
Selci
açısınin ölçůsÜ 100° olarak verilnistir
B noktasındaki konumundan D noktasındaiki konumuna geiinceye kadar olusturduğu BAD
basıyor. Fotoğraf malinesinde oluşan görüntünün modellenmis hâli Şekil’de verilmiştir. Elif’in
14) Elif salincakta sallanrken annesi fotoğraf maklnesinin (Görsel) deklansör tuşuna pes pese
3080 |10
Buna göre m (ADC)nün kaç derece olduğunu bulunuz

çözümüne ne gibi kolayliklar sağlayacağını değerlendiriniz.
çözümüne ne gibi kolayliklar sağlayacağını değerlendiriniz.800×916 66.1 KB

2

Salıncak Modelinde Açı Hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Salıncak İpi Özelliği: Salıncağın ip boyu hareket boyunca değişmeyeceğinden |AB| = |AC| = |AD| = r olur. Bu durum ikizkenar üçgenler meydana getirir.
  • İkizkenar Üçgen Kuralı: Tepe açısı \theta olan bir ikizkenar üçgenin taban açıları \frac{180^\circ - \theta}{2} = 90^\circ - \frac{\theta}{2} bağıntısıyla hesaplanır.
  • Dörtgenin İç Açıları Toplamı: Bir dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360^\circ’dir:
    m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) + m(\widehat{D}) = 360^\circ

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

a) Üçgende Açı Özellikleri ile Çözümün Değerlendirilmesi

Evet, m(\widehat{BCD}) açısının ölçüsü üçgende açı özellikleri kullanılarak kesinlikle bulunabilir.

  1. Salıncağın asıldığı A noktası sabit bir merkezdir. İpin uzunluğu değişmediği için |AB| = |AC| = |AD| olur.
  2. [AC] ipi çizildiğinde modelde iki adet ikizkenar üçgen oluşur: \triangle ABC ve \triangle ACD.
  3. m(\widehat{BAC}) = \alpha ve m(\widehat{CAD}) = \beta diyelim. Şekilde m(\widehat{BAD}) = 100^\circ verildiğinden:
    \alpha + \beta = 100^\circ
  4. \triangle ABC ikizkenar üçgeninde (|AB| = |AC|):
    m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{ABC}) = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}
  5. \triangle ACD ikizkenar üçgeninde (|AC| = |AD|):
    m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{ADC}) = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}
  6. m(\widehat{BCD}) açısı bu iki taban açısının toplamıdır:
    m(\widehat{BCD}) = m(\widehat{ACB}) + m(\widehat{ACD}) = \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) + \left(90^\circ - \frac{\beta}{2}\right)
    m(\widehat{BCD}) = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ - \frac{100^\circ}{2} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ

b) Dörtgenin Açı Özellikleri Kullanılarak Yapılan Çözüm

ABCD bir dörtgendir.

  1. İkizkenar üçgenlerin taban açıları özelliğinden:

    m(\widehat{ABC}) = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \quad \text{ve} \quad m(\widehat{ADC}) = 90^\circ - \frac{\beta}{2}

    Buradan B ve D açılarının toplamı:

    m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ADC}) = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ

    Görüldüğü üzere taban açıları toplamı doğrudan m(\widehat{BCD}) açısına eşittir:

    m(\widehat{B}) + m(\widehat{D}) = m(\widehat{BCD})

  2. ABCD dörtgeninin iç açıları toplamı 360^\circ kuralını uygulayalım:

    m(\widehat{BAD}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{BCD}) + m(\widehat{D}) = 360^\circ
    100^\circ + \underbrace{\left[m(\widehat{B}) + m(\widehat{D})\right]}_{m(\widehat{BCD})} + m(\widehat{BCD}) = 360^\circ
    100^\circ + 2 \cdot m(\widehat{BCD}) = 360^\circ
    2 \cdot m(\widehat{BCD}) = 260^\circ
    m(\widehat{BCD}) = 130^\circ

c) Dörtgende Açı Özelliklerinin Sağladığı Kolaylıklar

  • Bilinmeyen Sayısını Azaltır: Üçgen yönteminde \alpha ve \beta gibi iki ayrı açı değişkeni tanımlamak gerekirken, dörtgen kuralıyla toplam iç açı mantığı (360^\circ) üzerinden doğrudan sonuca ulaşılır.
  • İşlem Hacmini Kısaltır: İki farklı üçgende ayrı ayrı taban açılarını cebirsel olarak ifade edip toplamak yerine, tek bir denklem kurarak hızlı ve pratik bir çözüm sağlar.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:

  • a şıkkı: Evet, ikizkenar üçgenlerin taban açıları toplamı ilişkisinden 130^\circ olarak bulunur.
  • b şıkkı: Dörtgenin iç açıları toplamı bağıntısıyla m(\widehat{BCD}) = 130^\circ bulunur.
  • c şıkkı: Ayrı ayrı açı değişkenleri yerine genel toplam ilişkisini kullanarak işlem kalabalığını önler ve çözümü hızlandırır.
    ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Dönme Hareketi ve Yarıçap: Salıncağın ipi dairesel bir yay çizer; bu nedenle hareket esnasındaki tüm anlık ipler (AB, AC, AD) eşit uzunluktadır.
  • İkizkenar Üçgen Taban Açıları: Eşit kenarların karşısındaki açılar birbirine eşittir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Salıncağın hızlandığı için ip boyunun ya da açıların bağımsız değiştiğini düşünerek sorunun çözülemeyeceğini varsaymak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: İp uzunluğunun sabit kaldığını fark edip ikizkenar üçgen geometrisini kurmak.

Bu sorudaki gibi içbükey (bumerang) kuralı ile dörtgen özellikleri arasındaki bağlantıyı pekiştirmek için benzer bir örnek çözmek ister misiniz?