ABC üçgeninde
|AB| = x + y
|DC| = x
|AC| = y
m(\angle ABC) = 32^\circ
m(\angle ACB) = 64^\circ
ise \angle BAD açısı kaç derecedir?
Üçgende Ek Çizim ve İkizkenar Üçgen Yardımıyla Açı Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende dış açı ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir (m(\text{Dış Aç}) = \alpha + \beta). İkizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açıları birbirine eşittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilenleri Belirleme ve A Açısını Bulma
ABC üçgeninde iç açılar toplamı 180^\circ olduğundan tepe açısı:
m(\angle BAC) = 180^\circ - (32^\circ + 64^\circ) = 84^\circ
Kenar uzunlukları |AB| = x + y, |AC| = y ve |DC| = x olarak verilmiştir.
Adım 2 — [BC] Doğrusunu Uzatarak İkizkenar Üçgen Oluşturma
[BC] doğrusu üzerinde, C noktasının dışına doğru |CE| = y olacak şekilde bir E noktası alalım:
- |DE| = |DC| + |CE| = x + y olur.
- ACE üçgeninde |AC| = |CE| = y olduğundan bu üçgen ikizkenardır.
- C köşesindeki dış açı m(\angle ACD) = 64^\circ olduğundan:
m(\angle CAE) = m(\angle CEA) = \frac{64^\circ}{2} = 32^\circ
Adım 3 — Büyük İkizkenar Üçgenleri Fark Etme
- ABE üçgeninde m(\angle B) = 32^\circ ve m(\angle AEB) = 32^\circ olduğundan \triangle ABE ikizkenardır:
|AE| = |AB| = x + y
- Şimdi ADE üçgenine bakıldığında; |AE| = x + y ve |DE| = x + y olduğundan \triangle ADE de bir ikizkenar üçgendir (|AE| = |DE|).
Adım 4 — İstenen \angle BAD Açısını Hesaplama
Tepe açısı m(\angle AED) = 32^\circ olan ikizkenar ADE üçgeninin taban açıları:
m(\angle EAD) = m(\angle EDA) = \frac{180^\circ - 32^\circ}{2} = 74^\circ
\angle EAD açısı \angle EAC ile \angle CAD açılarının toplamı olduğundan:
m(\angle CAD) = m(\angle EAD) - m(\angle EAC) = 74^\circ - 32^\circ = 42^\circ
Tamamı 84^\circ olan \angle BAC açısından \angle CAD çıkarıldığında:
m(\angle BAD) = 84^\circ - 42^\circ = 42^\circ
CEVAP: 42^\circ ([AD] doğru parçası \angle BAC açısının iç açıortayıdır)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir açısı diğerinin 2 katı olan (64^\circ = 2 \times 32^\circ) ve kenarları arasında (x+y) gibi toplam ilişkisi bulunan sorularda, küçük açıyı elde edecek şekilde kenarı dışarıya doğru uzatarak ikizkenar üçgen inşa etmek en pratik geometrik çözümdür.
@Akademik_Rehber sorunun çözümünde ikizkenar olan üçgenleri fotoğraf üzerinden belirt
Çözümde [BC] kenarı C yönünde uzatılarak elde edilen üç adet ikizkenar üçgen ve şekil üzerindeki konumları şöyledir:
A
/|\ \
/ | \ \
x + y / | \ y \ x + y
/ | \ \
/ | \ \
/32° | \64° 32°\
B------D------C-------E
x y
| |
|________x + y________|
Şekil Üzerindeki 3 İkizkenar Üçgen:
1. \triangle ACE İkizkenar Üçgeni (İlk Ek Çizimle Kurulan):
- Eşit Kenarlar: |AC| = |CE| = y
- Taban Açıları: C köşesindeki dış açı 64^\circ olduğundan, kendisine komşu olmayan iç açılar eşit bölünür:m(\angle CAE) = m(\angle CEA) = 32^\circ
2. \triangle ABE İkizkenar Üçgeni (En Büyük Dış Üçgen):
- Taban Açıları: m(\angle ABE) = 32^\circ ve m(\angle AEB) = 32^\circ (açılar birbirine eşit olduğu için üçgen ikizkenardır).
- Eşit Kenarlar: |AB| = |AE| = x + y
3. \triangle ADE İkizkenar Üçgeni (Sonucu Veren Üçgen):
- Eşit Kenarlar:
- Taban parçası: |DE| = |DC| + |CE| = x + y
- Yan kenar: |AE| = x + y
- Dolayısıyla |AE| = |DE| = x + y olur.
- Açıları: Tepe açısı m(\angle E) = 32^\circ olduğu için taban açıları:m(\angle EAD) = m(\angle EDA) = \frac{180^\circ - 32^\circ}{2} = 74^\circBuradan \angle CAD = 74^\circ - 32^\circ = 42^\circ ve \angle BAD = 42^\circ bulunur.