Çözümü beyfendi: Su Kapları ve Meyve Suyu Haznesi Problemleri
Önemli Noktalar
- A ve B kaplarında sıvı miktarlarının zamana bağlı değişimi diferansiyel denklemlerle modellenir.
- Muslukların akış hızları ve kapların dolma/kapanma şartları fonksiyonların doğrusal ifadelerini etkiler.
- Koşullar verilerek bilinmeyen sabitler (a, b) grafik ve cebirsel yollardan bulunur.
- Eşit miktarda sıvının olduğu zamanı ve sıvı oranlarını bulmak için fonksiyonların kesişimi analiz edilir.
İçindekiler
- A ve B Kapları Suyu Problemi Çözümü
- Meyve Suyu Haznesi Grafiği Problemi
- Karşılaştırma Tablosu: İki Modellenme Yaklaşımı
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. A ve B Kapları Suyu Problemi Çözümü
Verilenler:
- A ve B kovalarının kapasitesi 20 litre, başlangıçta boştur.
- B kovasında 9 litre su var.
- A musluğu saniyede 1 litre, B musluğu saniyede 4 litre olmak üzere 2 dakikada su akıtıyor.
- Musluklar aynı anda açılıp A kovası dolunca ikisi de kapanıyor.
a) Fonksiyonların Cebirsel Temsili
A ve B kaplarındaki su miktarlarını t dakika cinsinden ifade edelim.
-
Başlangıç:
- B(0) = 9 litre
- A(0) = 0 litre
-
Su miktarlarının değişim hızları:
- A'(t) = 1 litre/dakika
- B'(t) = 4 litre/dakika
Buradan:
Ancak musluklar A dolunca kapanıyor; A’nın kapasitesi 20 litre, dolma süresi:
Ancak problemde 2 dakikada dolduğu verilmiş, dolayısıyla saniyeyle kıyaslamalıyız:
Daha uygun zaman birimini dakika olarak alırsak, verilen problemde 2 dakikada sıvı akışından bahsediliyor ama musluklardan sanki litre/dakika değil litre/2dakika şeklinde akışı anlatıyor olabilir. Problemden tam anlaşılması için açıklama:
“A ve B muslukları 2 dakikada sırayla 1 ve 4 litre su akıtmakta.”
Yani 1’inci musluk 2 dakikada 1 litre akıtıyor, 4’üncü musluk 2 dakikada 4 litre akıtır. Yani akış hızları:
Buna göre:
b) Eşit Miktarda Su Olacağı Zaman
A ve B kaplarındaki su miktarları eşit olduğunda:
Negatif zamanı fiziksel olarak kabul edemeyiz; bu demek oluyor ki; A hiçbir zaman B’ye su miktarında yetişemez çünkü B baştan 9 litrelik bir su fazlasına sahip ve daha hızlı dolmakta.
Sonuç: Musluklar tam açıkken su miktarları eşitlenmez.
2. Meyve Suyu Haznesi Grafiği Problemi
Verilenler ve Grafik Yorumu
- 250 litre kapasiteli haznede belirtilen f(t) ve g(t) fonksiyonları, dolan kısmın hacmini ve boş kalan kısmın hacmini zamanla verir.
- y = f(t): Haznenin dolu kısmının hacmi
- y = g(t): Haznenin boş kısmının hacmi
- Grafik üzerinden:
- f(0) = 0
- g(0) = 250
- f(2) = a ve g(2) = b bilinmiyor ancak grafik üzerinden bulunacak.
a) a ve b Değerleri
Grafikten t=2 için:
- f(2) = b noktası (grafikte belirtilmiş)
- g(2) = a noktası
Ancak grafik değerleri fotoğrafın netliğine bağlıdır; problemde grafik detayları şu:
- f(2) = a, g(2) = b
- f(5) = 75 litre (grafikte belirtilmiş)
- g(5) = 175 litre (grafikte belirtilmiş)
Çözüm:
Toplam hacim 250 litre olduğuna göre:
- dakikadaki noktalar için:
Grafikten f(2) = b ve g(2) = a diye verilmiş olabilir; rakamlar birbirine zıtlık oluşturabilir, sorunuzu netleştirmek için aşağıdaki adımı yapalım.
b) f ve g Fonksiyonlarının Cebirsel İfadeleri
Grafikte f(t) ve g(t) doğrusal fonksiyonlar.
- f(t) = m_f t + c_f
- g(t) = m_g t + c_g
Başlangıç değerleri:
- f(5) = 75 \implies 75 = m_f \cdot 5 + 0 \Rightarrow m_f = 15
- g(5) = 175 \implies 175 = m_g \cdot 5 + 250 \Rightarrow m_g = \frac{175 - 250}{5} = -15
Böylece:
c) 32 Litrelik Oranı Sağlayan Zaman
Haznenin dolu kısmının hacmi ile boş kısmının hacminin farkı 32 olmalı:
İki durum:
1.
Ama 9.4 dakika, grafik zaman aralığının dışında olabilir (grafik 5 dakikaya kadar gösterilmiş).
Yine 7.27 grafik zaman sınırının dışı. Bu durumda sorunun tam şartları grafikle örtüşmüyorsa tekrar kontrol edilmesi önerilir ama 5 dakikadan sonra hazne dolmaya başlıyor olabilir.
3. Karşılaştırma Tablosu: İki Modelin Karşılaştırması
| Özellik | Su Kovaları Problemi | Meyve Suyu Haznesi Problemi |
|---|---|---|
| Matematiksel Model | Doğrusal fonksiyonlar, sabit akış hızları | Doğrusal fonksiyonlar, hacim değişimi |
| Başlangıç Durumu | Sabit hacim ve boş başlangıç | Haznenin tam boş + dolu kısımlar |
| Hedef | Su miktarlarının eşitliği ve fonksiyon yazımı | a, b değerlerini ve hacim oranını bulma |
| Fonksiyonların Tipi | Sürekli akış, musluk kapanma ile sonlanır | Sürekli dolum ve boşalma, doğrusal |
| Zaman Aralığı | Genellikle 0 - dolma süresi arası | 0-5 dakika, grafik belirli |
4. Özet Tablo
| Soru | Cevap / Formül |
|---|---|
| A(t) ve B(t) Fonksiyonu | A(t) = 0.5 t, B(t) = 9 + 2 t |
| Su Miktarı Eşitliği Zamanı | Eşit olmaz (matematiksel olarak negatif zaman sonucu) |
| f(t) ve g(t) Fonksiyonları | f(t) = 15 t, g(t) = -15 t + 250 |
| a ve b Değerleri (t=2) | f(2)=30, g(2)=220 |
| 32 litrelik Hacim Oranı Zamanı | t ≈ 7.27 veya 9.4 dakika (grafik sınır dışı olabilir) |
5. Sık Sorulan Sorular
1. Muslukların kapanma şartı su miktarını nasıl etkiler?
Musluklar, belirli kapasiteye ulaşıldığında kapanır ve bu noktadan sonra hacim değişmez. Eşit su miktarı ancak kapanma şartları dikkate alınarak bulunabilir.
2. Grafiklerden fonksiyonların derecesini nasıl anlarım?
Doğrusal grafikler sabit bir eğime sahiptir; fonksiyonlar genellikle f(t) = mt + c formundadır. Eğimin değişimi (eğri vs doğru) fonksiyon tipini gösterir.
3. Hacim ve boşluk farkı nasıl hesaplanır?
Toplam hacim sabit ise dolu hacim + boş hacim = toplam hacim formülü kullanılır. Aralarındaki fark, hacimlerin büyüklükler ilişkisine bağlıdır.
Sonraki Adımlar
Bu tür cebirsel ve grafik tabanlı problemleri daha iyi kavramak için isterseniz:
- Fonksiyonların grafik çizim tekniklerini detaylı öğrenelim mi?
- Gerçek hayattan dolum ve tahliye problemlerinde diferansiyel denklemler nasıl kurulur?
- Başka YKS matematik problemleri ile pratik yapmak ister misiniz?
8. ve 9. Sorularının Çözümleri
Önemli Noktalar
-
- soruda A ve B kovanlarının dolum hızları sırasıyla 0,5 L/dk ve 2 L/dk’dir.
-
- soruda haznenin toplam kapasitesi 250 L ve her iki fonksiyonun toplamı hep 250 L’yi verir.
- 9(c) için $$\frac{f(x)}{g(x)}=32$$ eşitliğinden $$x=\frac{5525}{1155}\approx4{,}78\ \text{dk}$$ bulunur.
İçindekiler
8. Sorunun Çözümü
Verilenler
- A kovası boş (0 L), B kovasında başlangıçta 9 L su var.
- Dolum hızları: A → 1 L/2 dk = 0,5 L/dk, B → 4 L/2 dk = 2 L/dk.
- Her iki musluk aynı anda açılır; A kova 20 L’e ulaştığında kapanır (20 L/0,5 L/dk = 40 dk).
a) Zamana bağlı su miktarları
b) Eşit hacim araması
Dolayısıyla t\ge0 aralığında A ve B’de eşit miktar su hiçbir zaman oluşmaz.
9. Sorunun Çözümü
Bir hazne kapasitesi 250 L, dolu kısmın hacmi f(x), boş kısmın hacmi g(x). Grafikten:
- f(0)=a, f(5)=250
- g(0)=b, g(5)=0
- f ve g doğrusal → f(x)+g(x)=250
a) a ve b değerleri
Grafikte f(0) = 75 L olduğu için
b) f ve g’nin cebirsel ifadeleri
Eğimler:
Buna göre
c) Dolu/boş hacim oranı 32 olunca
eşitliğini çözelim:
Özet Tablo
| Soru | Fonksiyon(lar) | Eşitlik/Oran Sağlama Zamanı |
|---|---|---|
| 8(a) | A(t)=0{,}5t,\;B(t)=9+2t | – |
| 8(b) | – | Eşit hacim için t<0 → yok |
| 9(a) | a=75,\;b=175 | – |
| 9(b) | f(x)=75+35x,\;g(x)=175-35x | – |
| 9(c) | – | $x\approx4{,}78,$dk |
SSS
Q1: Neden A ve B’de eşit hacim yok?
A1: Çözerken elde edilen t=-6 fiziksel zaman değil, dolayısıyla 0≤t aralığında eşitlik sağlanmaz.
Q2: f ve g’nin toplamı neden 250 L?
A2: Hazne kapasitesi 250 L, dolu kısım + boş kısım hep toplam kapasiteyi verir.
Q3: Oran eşitliğini çözerken nelere dikkat edilmeli?
A3: Payda sıfır olmayacak şekilde 0\le x<5 aralığında çözüm aranmalı.
Başka benzer sorular veya bu çözümlere dair pratik problemler ister misiniz?
@namikbatman