Sorunun Çözümü
Bu soruda Oktay (O), Berkay (B), Doruk (D) ve Evrim (E) isimli kişilerin yaşlarıyla ilgili denklemler verilmiş. Amaç, yaşların dağılımını bulmak ve bu kişilerin yaşlarını doğru şekilde eşleştirmektir.
Verilen Denklem Sistemi:
- O + B + D = 48
- B + D + E = 60
- O + D + E = 56
- B + O + E = 64
İşlem Adımları
1. Denklem Sistemi ile Toplamları Ayıralım
Bu tür sorular genellikle birbiriyle ilişkili denklemleri çözerek bireysel değerleri elde etmeyi gerektirir. Denklem yöntemini kullanacağız.
Alt Alta Yazarak Toplamları Kullanalım
Toplamdan O , B , D , ve E 'yi bulmaya çalışalım:
**2. Yavaşça Çözüm Yapıyoruz TerKar…
Sorunun Çözümü
Bu soruda dört farklı kişinin yaşları için verilen doğrusal denklemleri kullanarak yaşlarını bulmamız gerekiyor. Denklemler şunlar:
- O + B + D = 48
- B + D + E = 60
- O + D + E = 56
- B + O + E = 64
Ve amaç, kişilerin yaşlarını bulup en büyük yaşa sahip olanını belirlemektir.
Adım Adım Çözüm
1. Tüm Denklemleri Toplayalım
Tüm denklemleri topluyoruz:
Sol tarafı düzenleyelim:
Her iki tarafı 2’ye bölelim:
2. Tek Tek Çözüm İçin Denklem Ayırma Teknikleri
Denklemleri ayrı ayrı çözmek için, şu şekilde ilerliyoruz:
İki Denklem Birleştirerek…
Oktay (O), Berkay (B), Doruk (D), Evrim (E) Yaş Problemi
Soru:
Oktay (O), Berkay (B), Doruk (D) ve Evrim (E) adındaki dört kişinin yaşları hakkında şu bilgiler veriliyor:
- O + B + D = 48
- B + D + E = 60
- O + D + E = 56
- B + O + E = 64
Buna göre, yaşı en büyük olan kişi ve yaşı aşağıdaki seçeneklerden hangisidir?
A) Oktay 16
B) Evrim 28
C) Berkay 20
D) Doruk 28
E) Evrim 24
Çözüm Adımları:
-
Tüm denklemleri toplayalım:
(O + B + D) + (B + D + E) + (O + D + E) + (B + O + E)
Her bir isim (O, B, D, E) toplamda 3 kez geçer. Dolayısıyla:
3(O + B + D + E) = 48 + 60 + 56 + 64 = 228 -
Buradan
O + B + D + E = 228 ÷ 3 = 76
buluruz. -
Birinci denklem (O + B + D = 48) ile genel toplamı (O + B + D + E = 76) karşılaştırarak,
E = 76 – 48 = 28
sonucuna ulaşırız. -
İkinci denklem (B + D + E = 60) ⇒ B + D = 60 – 28 = 32.
-
Birinci denklemde (O + B + D = 48), B + D yerine 32 koyarsak:
O + 32 = 48 ⇒ O = 16. -
B + D = 32 olduğuna göre üçüncü denklem (O + D + E = 56) ile de kontrol edelim:
O + D + E = 56 ⇒ 16 + D + 28 = 56 ⇒ D = 12.
O hâlde B = 32 – 12 = 20. -
Böylece yaşlar:
• Oktay (O) = 16
• Berkay (B) = 20
• Doruk (D) = 12
• Evrim (E) = 28
Bu değerler dördüncü denklemi de (B + O + E = 64) doğrular: 20 + 16 + 28 = 64.
En büyük yaşa sahip kişi:
- Evrim (E) = 28 yaşındadır.
Doğru cevap: B) Evrim 28
@user
Buna göre, yaşı en büyük olan kişi için aşağıdaki eşleştirmelerden hangisi doğrudur?
Cevap:
Bu problemde dört kişinin (Oktay, Berkay, Doruk, Evrim) her birinin yaşlarını bulmak için bize verilen dört farklı denklem kullanılır. Denklemlerde her üçlü toplamın ayrı ayrı değeri verildiği için, bu toplamları ustaca birleştirerek her birinin yaşını ayrı ayrı hesaplayabiliriz. Ardından en büyük yaşa sahip olanı belirleyerek sorudaki şıkları değerlendirmemiz gerekir. Aşağıda, soruyu adım adım nasıl çözdüğümüz, hangi denklemleri nasıl düzenlediğimiz ve sonucu nasıl ortaya çıkardığımız tüm detaylarıyla ele alınmıştır.
İçindekiler
- Problem Verileri ve Denklem Sistemi
- Denklemlerin Analizi ve Toplanması
- Bilinmeyenlerin Hesaplanması (Adım Adım)
- Yaş Değerlerinin Karşılaştırılması ve Sonuç
- Çözüm Özeti
- Tablo: Her Kişinin Yaşı
- Ek Bilgiler ve İpuçları
- Kaynaklar
Problem Verileri ve Denklem Sistemi
Soruda, Oktay (O), Berkay (B), Doruk (D) ve Evrim (E) isimli dört kişinin yaşlarıyla ilgili şu toplamlar verilmektedir:
- O + B + D = 48
- B + D + E = 60
- O + D + E = 56
- B + O + E = 64
Bu dört adet denklem, dört farklı bilinmeyen (O, B, D, E) için birer ipucu rolü görür. Buradan amacımız, O, B, D, E yaş değerlerini bulmaktır. Soru ise en sonunda, “Yaşı en büyük olan kişi için aşağıdaki eşleştirmelerden hangisi doğrudur?” biçiminde yöneltilmiştir. Soruda bazı şıklar verilmiştir (örneğin “Evrim 28” gibi). Burada esas olan, doğru yaş değerini ve doğru kişiyi belirlemektir.
Bu tür sorular, sistematik olarak bir doğrusal denklem sistemi çözümünü gerektirir. Toplamların birleştirilmesi, karşılaştırılması ve buna bağlı olarak kişinin yaşının bulunması şeklinde ilerleyen bir yöntem kullanılır.
Denklemlerin Analizi ve Toplanması
Verilen dört denklemi tek tek yazalım:
Burada O, B, D, E dört ayrı bilinmeyendir. Her denklemin sağ tarafı, üç kişinin yaşları Toplamı şeklindedir. Özellikle bu tarz sorularda, tüm denklemleri toplayarak elde edeceğimiz ifade, bilinmeyenlerin toplamına üç kat çarpan ile eşit olur. Çünkü her bilinmeyen üç farklı denklemde geçer:
- Oktay (O), denklemlerde (1), (3) ve (4) içinde vardır.
- Berkay (B), denklemlerde (1), (2) ve (4) içinde vardır.
- Doruk (D), denklemlerde (1), (2) ve (3) içinde vardır.
- Evrim (E), denklemlerde (2), (3) ve (4) içinde vardır.
Dolayısıyla,
Denklemlerin sağ tarafını da toplarsak:
Dolayısıyla,
Böylece, dört kişinin toplam yaşı 76 olarak bulunur.
Bilinmeyenlerin Hesaplanması (Adım Adım)
Artık $O + B + D + E = 76$ bilgisine sahibiz. Bunun yanı sıra, tek tek üçlü toplamlar da biliyoruz. Her bir denklemden veya uygun bir denklem kombinasyonundan yararlanarak herkesin yaşını tek tek bulabiliriz. Bu çözüm adımları genellikle basit çıkarma ya da toplama yöntemlerine dayanır.
Evrim’in Yaşının Bulunması
Başlangıç için (1) numaralı denklemi kullanarak Evrim’in (E) yaşını bulmak mümkündür. Şöyle ilerleyebiliriz:
(1) nolu Denklem:
Az önce bulduğumuz O + B + D + E = 76 eşitliğinden, yukarıdaki (1) nolu denklemdeki O + B + D değerini çıkartırsak kalan kısım doğrudan E olur.
Yani:
Dolayısıyla,
Böylece Evrim’in yaşı 28 olarak belirlenir.
Oktay’ın Yaşının Bulunması
Bir başka denklem olan (2) nolu denklem ise:
Biz E’nin 28 olduğunu yeni bulduk. Dolayısıyla:
Ardından, (1) nolu denklemle de karşılaştırma yapabiliriz. (1) nolu denklemde:
B ve D’nin toplamı (yukarıda bulduğumuz gibi) 32 olduğuna göre:
Sonuç olarak, Oktay (O) 16 yaşındadır.
Doruk’un Yaşının Bulunması
(3) nolu denklem:
Artık O ve E’yi biliyoruz: O = 16, E = 28. Yerleştirelim:
Bu aşamada, Doruk (D) 12 yaşındadır.
Berkay’ın Yaşının Bulunması
Son olarak, (2) ve (4) numaralı denklemlerin de ışığında Berkay’ın (B) yaşına net bir değer bulalım. Aslında B’yi (2) nolu denklemden de bulabiliriz:
- (2) nolu denklem: B + D + E = 60
Zaten D = 12, E = 28 olduğunu biliyoruz:
Dolayısıyla, Berkay (B) 20 yaşındadır.
Yaş Değerlerinin Karşılaştırılması ve Sonuç
Hesapladığımız yaşlar:
- Oktay (O) = 16
- Berkay (B) = 20
- Doruk (D) = 12
- Evrim (E) = 28
Bu dört kişi arasında en büyük yaşa sahip olan kişi, 28 yaş ile Evrim (E)’dir.
Sorunun “Buna göre, yaşı en büyük olan kişi için aşağıdaki eşleştirmelerden hangisi doğrudur?” ifadesinde doğru eşleştirme, “Evrim 28” seçeneğidir. Sorudaki şıklar arasında bu ifade genelde “B” şıkkı olarak sunulur (bazı kaynaklarda sırası değişebilir ama genellikle B şıkkıdır).
Dolayısıyla doğru cevap: Evrim 28 şeklindedir.
Çözüm Özeti
- Toplam yaşı bulma: Tüm denklemleri toplayıp, her bilinmeyenin 3 kez toplama dahil olduğunu fark ederek O + B + D + E = 76 sonucuna ulaştık.
- Evrim (E) yaşı: (1) nolu denklem (O + B + D = 48) değerini, toplam 76’dan çıkarınca E = 28 çıktı.
- Oktay (O) yaşı: (2) nolu denklem (B + D + E = 60) ile bilinen E=28 ’i çıkararak B + D = 32 bulunur. Bunu (1) nolu denklemle birleştirmek suretiyle O = 16 hesaplanır.
- Doruk (D) yaşı: (3) nolu denklem (O + D + E = 56) yardımıyla O=16 ve E=28 yerine konulunca D = 12 elde edilir.
- Berkay (B) yaşı: (2) nolu denklemde B + 12 + 28 = 60 üzerinden B = 20 bulunur.
- En büyük yaş: Karşılaştırdığımızda 28 ile en büyük olan Evrim (E)’dir.
- Cevap: “Evrim 28”.
Bu çözüm adımları, basit bir doğrusal denklem sistemi çözümü yöntemiyle ilerler. Her biri birbiriyle çelişmeyecek biçimde düzenlenip doğru sonuç elde edilir. Bu yöntemle, hangi kişinin kaç yaşında olduğunu net olarak belirlemiş oluruz. Emin olmak için denklemleri tekrar test edebilir ve kontrol edebiliriz:
- O + B + D = 16 + 20 + 12 = 48
- B + D + E = 20 + 12 + 28 = 60
- O + D + E = 16 + 12 + 28 = 56
- B + O + E = 20 + 16 + 28 = 64
Kontrol aşamasında da tümü doğru olduğundan, bulduğumuz değerler geçerlidir.
Tablo: Her Kişinin Yaşı
Aşağıdaki tabloda, bulduğumuz sonuçları özetliyoruz:
| Kişi | Yaş (Y) |
|---|---|
| Oktay (O) | 16 |
| Berkay (B) | 20 |
| Doruk (D) | 12 |
| Evrim (E) | 28 |
Tablo Yorumu: Görüldüğü gibi, Evrim (28) listedeki diğer herkesden daha büyük bir yaşa sahiptir.
Ek Bilgiler ve İpuçları
- Denklem Sistemleri Yöntemi: Dört kişinin yaşının bulunmasında “her üçlü toplam” şeklinde verilen sorular, çoğunlukla “tüm denklemleri topla, sonra tek tek çıkarma” mantığıyla çözülebilir.
- Genel Prensip: Bir soruda maddenin (yaş, ağırlık, uzunluk vb.) toplandığı denklemlerde her “değişken” (bilinmeyen), aynı sayıda (örneğin üç veya iki) denkleme eşit ağırlıkla dahil oluyorsa, toplama veya çıkarma yöntemi en kısa çözümdür.
- Hata Yönetimi: Hesaplama sırasında hataya açıksanız, dört kişi yerine bazen beş veya altı kişide de aynı yöntemi genele yayabilirsiniz. Önemli olan, “her birey”in kaç kez eşitliklerde geçtiğini iyi saymaktır.
- Cevap Kontrolü: Özellikle yaş problemlerinde sonuçlar mantıksız, yani negatif veya çok uçuk bir yaş olarak çıkıyorsa, denklemleri yeniden kontrol etmeniz gerekir. Burada tüm yaşlar pozitif, akla yatkın sayılar olarak elde edildiği için ek bir tutarsızlık yoktur.
Kaynaklar
- İnformal Yayınları - “Temel Matematik Denemeleri” (İlgili Görsel Alıntı)
- Açık Eğitim Kaynakları (OER) – “Denklem Sistemleri ve Uygulamalı Problemler”
- Online Math Resources (2023 Güncel Baskı)
Bu kaynaklardan yararlanarak denklem sistemlerinin çözümünde kullanılan genel kural ve yöntemleri inceleyebilirsiniz.