Soruyu Çözme Adımları
Sorunun Kapsamı:
Soruda, bir fonksiyonun türevlenebilir olduğu belirtilmiş ve aşağıdaki eşitlik verilmiş:
Bu eşitlik kullanılarak, verilen limitin değeri sorulmaktadır:
Limit ifadesi, fonksiyonun ikinci türevi ile ilişkilidir. Soruyu çözmek için türevi almalı ve işlemleri adım adım yapmalıyız.
Adım 1: Fonksiyonun Türevini Hesaplama
Verilen fonksiyonu türevlemek için eşitliği dikkate alalım:
Bu eşitlik sadeleşir:
Adım 2: Matematiksel Detaylar
Henüz tamamen çözemedik. Bir sonraki adımda detaylandırarak ilerleyelim!
Sorunun çözümüne devam edebilmek için verilen eşitliği daha dikkatlice yorumlayalım ve türev işlemlerine geçelim. Görünen kısım yanlış bir sadeleştirme içeriyor gibi. Yeniden başlıyoruz:
Adım 1: Verilen Fonksiyonu İnceleme
Fonksiyon şu şekilde verilmiş:
Burada dikkat edilmesi gereken husus, sadeleşme ya da türev alma işlemini doğru yapmak. Fonksiyon bu haliyle daha net bir formatta ifade edilmeli.
Matematiksel Detaylar Eksik! Lütfen soruyu tekrar yükleyin ve bize bildirin! 
Bir türevlenebilir fonksiyon f için x \cdot f(x) = x^2 - x^2 + f(x) eşitliği verilmiş. Buna göre \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f'(x) - f'(2)}{x-2} limiti kaçtır?
Cevap:
Sorunun Analizi ve Açılımı
Soru şu şekilde:
- f türevlenebilir bir fonksiyon,
- x \cdot f(x) = x^2 - x^2 + f(x) eşitliği verilmiş (aslında x^2 - x^2 = 0 olduğu için sadeleşir!),
- \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f'(x) - f'(2)}{x-2} limiti soruluyor.
1. Fonksiyonu ve Eşitliği Yorumlayalım:
Verilen eşitliği sadeleştiriyoruz:
Eğer x \neq 1 olsaydı, iki tarafı da f(x)'e bölerdik ama dikkat! x \cdot f(x) - f(x) = 0 \implies f(x)[x-1]=0
Yani ya x=1 ya da f(x)=0.
Ancak soru için önemli olan aynı fonksiyon olduğu:
x \cdot f(x) = f(x)
\implies f(x) (x-1) = 0
Bütün x için bu geçerli olduğuna göre, f(x) = 0 tüm x için.
2. f(x), 0 Sabit Fonksiyonuna Eşittir
Yani f(x) = 0
Dolayısıyla türevini ve türevinin türevini de bulabiliriz:
- f'(x) = 0
3. Cevaplaması İstenen Limit
Burada hem f'(x) hem f'(2) sıfır olduğu için:
4. Seçeneklerde 0 varsa…
Sorunun görselinde seçenekler: A) 6, B) 5, C) 4, D) 3
0 yok. Bu nedenle burada bir hata olabilir mi?
Olası Yazım Hatası:
Soru görselinin bulanık alanında x^2 - x^2 kısmı, aslında belki x^2 - x + f(x) olmalıydı. Eğer öyleyse yeni denklemi şu şekilde yazalım:
Bu durumda:
Burada x \neq 1 için sadeleştirelim:
Sonuç: f(x) = x
Şimdi Türevini Alalım:
Bize sorulan limit:
Yani,
Yine cevap 0 çıktı. Seçeneklerde “0” yok, bunun için tekrar kontrol edelim.
Son Kontrol: Yazım Hatası Yoksa Soru Özgün Haliyle 0’dır
Ancak görselde istenen doğru ifadeyi aktarırsanız, başka bir işlem yapılabilir. Fakat görünen haliyle limitin değeri kesinlikle 0’dır.
Sonuç ve Özet Tablosu
| f(x) | f'(x) | Limit | Sonuç | |
|---|---|---|---|---|
| x \cdot f(x) = f(x) | f(x) = 0 | f'(x)=0 | \lim_{x \to 2} \frac{0-0}{x-2}=0 | 0 |
| x \cdot f(x) = x^2-x+f(x) | f(x)=x | f'(x)=1 | \lim_{x \to 2} \frac{1-1}{x-2}=0 | 0 |
Sorunun tam metni net olmasa da, yukarıdaki iki yorumdan hangi formül sorulmuş olursa olsun limitin değeri \boxed{0} olur.
Eğer soruda farklı bir denklem veya ek bilgi vardıysa, lütfen netleştirirseniz çözüme tekrar göz atabilirim. @Ydgugojp
x·f′(x) = x³ − x² + f(x) denklemine göre lim (x→2) [f′(x) − f′(2)] / (x − 2) değeri
Cevap: 4
Çözüm:
-
Denklemimiz:
x · f′(x) = x³ − x² + f(x). -
Her iki tarafın türevini alalım. Solda, x·f′(x) ifadesinin türevi:
d/dx[x·f′(x)] = f′(x) + x·f″(x).Sağda ise (x³ − x² + f(x)) ifadesinin türevi:
d/dx[x³ − x² + f(x)] = 3x² − 2x + f′(x). -
Türevlendirme eşitliği:
f′(x) + x·f″(x) = 3x² − 2x + f′(x). -
f′(x) terimleri sadeleşir:
x·f″(x) = 3x² − 2x. -
Buradan f″(x) ifadesini elde ederiz (x ≠ 0 varsayımıyla):
f″(x) = (3x² − 2x) / x = 3x − 2. -
Aradığımız limit, (f′(x) − f′(2)) / (x−2) ifadesinin x→2 noktasındaki değeri, aslında f′(x)’in 2 noktasındaki türevi yani f″(2)’dir. Dolayısıyla:
f″(2) = 3·2 − 2 = 6 − 2 = 4.
Bu nedenle
lim (x→2) [f′(x) − f′(2)] / (x − 2) = 4.
**x·f ′(x) = x³ – x² + f(x) eşitliğine göre
\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f′(x)-f′(2)}{x-2} limiti nedir?**
İçindekiler
1. Problemin Tanımı
Türevlenebilir bir f fonksiyonu için
eşitliği verilmiştir.
Buna göre hesaplanmak istenen limit:
seçenekler:
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
2. Limitin Yorumu: İkinci Türevin Değeri
ifadesi, tanım gereği f′ fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevidir. Yani
Bu nedenle önce f(x)’i ve türevlerini bularak f''(2)’yi hesaplayacağız.
3. Diferansiyel Denklemin Kurulması ve Çözümü
Verilen eşitliği şöyle düzenleyelim:
Bölgesel olarak x\neq0 kabul edip, standart lineer diferansiyel denklem formuna getiriyoruz:
Buna uygun integrasyon faktörü
\mu(x)=e^{\int(-1/x)\,dx}=x^{-1}.
Denklemi \mu(x) ile çarparsak:
Soldaki ifade \bigl(f(x)\,x^{-1}\bigr)' olduğundan,
Sonuçta
4. f(x), f ′(x) ve f ″(x) Bulunması
Bulduğumuz f(x) üzerinden türevleri alalım:
- Birinci türev
- İkinci türev
Not: Sürekli sabit C ikinci türevde kaybolur; dolayısıyla f''(x) tüm aile için ortaktır.
5. Limiti Hesaplama
İkinci türevi x=2 noktasında yerine koyarsak:
Dolayısıyla aranan limit 4’tür. (C şıkkı)
6. Çözümün Özeti Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Denklem Yazımı | x\,f′(x) - f(x) = x^3 - x^2 | – |
| 2. Standart Forma Getirme | f′(x)-\tfrac1x\,f(x)=x^2-x, μ(x)=x⁻¹ | – |
| 3. Entegrasyon | \tfrac{d}{dx}(f/x)=x-1 → f/x=\tfrac{x^2}{2}-x+C | f(x)=\tfrac12x^3 - x^2 + Cx |
| 4. Türevler Bulunması | f′(x)=\tfrac32x^2-2x+C, f''(x)=3x-2 | – |
| 5. Limit Yorumu ve Hesap | \lim\frac{f′(x)-f′(2)}{x-2}=f''(2)=4 | 4 |
7. Sonuç ve Özet
- Verilen diferansiyel denklemi lineer yöntemle çözdük.
- Genel çözüm: f(x)=\tfrac12x^3 - x^2 + Cx.
- Birinci türevdeki sabit C, ikinci türevi etkilemedi: f''(x)=3x-2.
- Aranan limit f''(2)=4 olarak bulundu.
Cevap: 4 (Seçenek C)
@sorumatik