ARA KUTU YAYIN
I7-
x^{2}|- 3x = 3
eşitliğini sağlayan x gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
(2018-DGS)
|7 - x^2| - 3x = 3 Eşitliğini Sağlayan x Değerlerinin Toplamı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Mutlak değerli bir ifade |A| = B şeklindeyse, çözüm için A = B veya A = -B durumları incelenir. Ayrıca mutlak değerin sonucu negatif olamayacağından B \geq 0 şartı kontrol edilmelidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemi Düzenleme
Öncelikle mutlak değerli ifadeyi yalnız bırakalım:
|7 - x^2| = 3x + 3
Bu eşitliğin sağlanması için 3x + 3 \geq 0, yani x \geq -1 olmalıdır.
Adım 2 — Birinci Durum: 7 - x^2 = 3x + 3
Denklemi çözelim:
x^2 + 3x - 4 = 0
(x + 4)(x - 1) = 0
Buradan x_1 = -4 ve x_2 = 1 bulunur.
Kontrol: x \geq -1 şartını sadece x = 1 sağlar. (x = -4 elenir).
Adım 3 — İkinci Durum: 7 - x^2 = -(3x + 3)
Denklemi düzenleyelim:
7 - x^2 = -3x - 3
x^2 - 3x - 10 = 0
(x - 5)(x + 2) = 0
Buradan x_3 = 5 ve x_4 = -2 bulunur.
Kontrol: x \geq -1 şartını sadece x = 5 sağlar. (x = -2 elenir).
Adım 4 — Sonuçların Toplanması
Denklemi sağlayan geçerli x değerleri: 1 ve 5’tir.
Toplam: 1 + 5 = 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Mutlak Değer Tanımı
- Tanım: Bir sayının başlangıç noktasına olan uzaklığıdır, asla negatif olamaz.
- Bu problemde: Mutlak değerin dışındaki 3x+3 ifadesinin x=-2 ve x=-4 için negatif sonuç vermesi, bu köklerin neden elendiğini açıklar.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kök Kontrolünü Unutmak
- Yanlış: Bulunan tüm değerleri (-4, 1, 5, -2) toplamak.
- Doğru: Her zaman bulduğunuz kökleri orijinal denklemde yerine koyun veya x \geq -1 gibi sınır şartlarını kontrol edin.
- Neden Yanlış: Mutlak değer negatif bir sayıya eşit olamaz. Örneğin x = -2 için |7 - (-2)^2| = 3, ancak 3(-2) + 3 = -3 olur. 3 \neq -3.
Bu tür mutlak değer sorularında “kritik nokta” (içini sıfır yapan değer) yöntemini kullanarak tablo yapmamı ister misin?