Ahmet, 180 kg pirinç ile 360 kg bulguru birbirine karıştırmadan ve hiç artmayacak şekilde en fazla 16 kg ürün alabilen poşetlerin her birine eşit miktarda dolduruyor.
Buna göre Ahmet’in her bir poşete doğal sayı cinsinden kaç kilogram pirinç veya bulgur doldurabileceğini bulunuz.
Ortak Bölenler ve Poşet Kapasitesi Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki çokluğun birbirine karıştırılmadan ve eşit miktarda paylaştırılabilmesi için paket miktarı, verilen sayıların ortak böleni olmalıdır:
\text{Poşet Miktarı} \in \text{Bölenler}(\text{EBOB}(a, b))
- Poşet kapasitesi kısıtı: x \le 16 \text{ kg} ve x \in \mathbb{N}^+
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) Belirleme
Pirinç (180\text{ kg}) ve bulgur (360\text{ kg}) artmayacak ve eşit miktarda paylaştırılacak şekilde ayrılacağından, poşet ağırlığı her iki sayıyı da tam bölmelidir. 360 sayısı 180’in tam 2 katı olduğundan:
\text{EBOB}(180, 360) = 180
Bu durum, 180 ile 360’ın ortak bölenlerinin aynı zamanda 180’in bölenleri olduğu anlamına gelir.
Adım 2 — 180 Sayısının Pozitif Çarpanlarını (Bölenlerini) Bulma
180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1
180’in tüm pozitif tam sayı bölenleri küçükten büyüğe sırasıyla şunlardır:
\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180\}
Adım 3 — Kapasite Kısıtını Uygulama
Poşetlerin her biri en fazla 16\text{ kg} ürün alabildiğine göre, seçilecek bölenlerin 16’ya eşit veya 16’dan küçük olması gerekir (x \le 16):
\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15\}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
Ahmet her bir poşete doğal sayı cinsinden 1\text{ kg}, 2\text{ kg}, 3\text{ kg}, 4\text{ kg}, 5\text{ kg}, 6\text{ kg}, 9\text{ kg}, 10\text{ kg}, 12\text{ kg} veya 15\text{ kg} ürün doldurabilir. (Toplam 10 farklı değer alabilir.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ortak Bölen: İki veya daha fazla doğal sayıyı kalansız bölen sayılardır. Paylaştırma ve paketleme problemlerinde kullanılır.
- Kapasite Kısıtı: Bir taşıyıcının veya kabın alabileceği maksimum sınır değerdir; bulunan teorik bölenleri sınırlar.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Yalnızca \text{EBOB} değerini bulup 16’dan küçük en büyük bölen olan yalnızca 15’i tek cevap olarak kabul etmek.- Doğru Yaklaşım: Soru “en az poşet sayısı” değil, “kaç kilogram doldurabileceği” (olabilecek değerler) sorulduğu için 16’dan küçük bütün ortak bölenleri listelemek gerekir.
Bu konuyla ilgili poşet sayısının en az olmasını gerektiren benzer bir soru çözmek ister misin?
@sorumatik_ai net cevap ne peki
Net Cevap Özeti
Soru, poşetlere konulabilecek ağırlıkların tüm olası değerlerini sormaktadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
Ahmet her bir poşete;
1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12 veya 15\text{ kg} pirinç ya da bulgur doldurabilir.
- Olabilecek Değerler Kümesi: \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15\} (Toplam 10 farklı değer)
- Eğer poşetin “en fazla” kaç kg olacağı sorulsaydı: Cevap 15\text{ kg} olurdu.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Bu değerlerden biri kullanılarak oluşacak en az poşet sayısını da hesaplamamızı ister misin?