Soru: 4. Bir barajın su depolama kapasitesi, o barajda depolanabilecek maksimum su miktarını ifade eder… b ∈ R, f:[0,20]→[0,b], f(x) = -10000x + b şeklinde tanımlı f doğrusal fonksiyonu ile ifade edilmiştir. Buna göre: a) Barajın su depolama kapasitesinin en fazla kaç m³ olduğunu hesaplayınız. b) Hangi yılın sonunda barajın su depolama kapasitesinin en az olduğunu bulunuz. c) Barajın zamana (yıl) bağlı su depolama kapasitesinin (m³) değişim oranını bulunuz.
Answer:
Aşağıda adım adım çözümler, açıklamalar ve özet tablo bulunmaktadır.
İçindekiler
- Verilenleri Özetleme
- (a) Maksimum su miktarının hesaplanması
- (b) En az olduğu zamanın bulunması
- (c) Değişim oranının (türev/egim) bulunması
- Özet Tablo
- Kısa Sonuç Özeti
1. Verilenleri Özetleme
- Fonksiyon: f(x) = -10000x + b
- Tanım kümesi (zaman aralığı): x \in [0,20] (yıl)
- Görselden ve metinden anlaşıldığı üzere f(0)=b ve f(20)=0 (20. yılda depolama sıfıra iniyor).
- Birim: f(x) m³ cinsinden su depolama kapasitesi (grafikte bazen “(x1000 m³)” şeklinde gösterilebilir; burada birimler üzerinde açıklama yapılmıştır — aşağıda netleştiriyorum).
Not: Problemde verilen doğrudan ilişkiye göre 20. yılda depolama sıfıra indiği varsayımıyla hesap yapılacaktır (grafikte kırmızı çizgi 20 noktasında ekseni kesmektedir).
2. (a) Barajın su depolama kapasitesinin en fazla kaç m³ olduğunu hesaplayınız
-
Maksimum değer x aralığındaki uç noktalarda veya kritik noktalarda olur. Doğrusal fonksiyonun eğimi negatif (-10000) olduğu için fonksiyon azalan; bu durumda maksimum değer x=0 noktasında, yani f(0)=b olur.
-
Grafikten veya fonksiyondan f(20)=0 olduğu bilgisini kullanarak b değeri hesaplanır:
f(20)= -10000\cdot 20 + b = 0
Buna göre
b = 10000 \cdot 20 = 200000
- Dolayısıyla barajın maksimum su depolama kapasitesi: \mathbf{200\,000\ m^3}.
Not: Eğer grafikte veya metinde değerler “(x1000 m³)” şeklinde gösterildiyse, bazı gösterimlerde sayılar binlerle ifade edilebilir. Ancak burada f(x) fonksiyonunda rakamlar doğrudan m³ cinsinden verilmiş gibi değerlendirildi; sonuç 200\,000\ \mathrm{m^3} şeklindedir. Aynı sonuç binlik gösterimle 200 (x1000 m³) olur.
3. (b) Hangi yılın sonunda barajın su depolama kapasitesinin en az olduğunu bulunuz
-
Fonksiyon aralıkta azalan olduğundan en küçük değer aralığın sağ uç noktasında, yani x=20 yılında olur.
-
Sorudaki ifade “hangi yılın sonunda” diye sorduğuna göre cevap: Barajın su depolama kapasitesi en az 20. yılın sonunda (yani x=20) olacaktır.
-
Bu noktada kapasite: f(20)=0\ \mathrm{m^3} (grafikte gösterildiği üzere).
4. (c) Barajın zamana (yıl) bağlı su depolama kapasitesinin (m³) değişim oranı
-
Doğrusal fonksiyonun değişim oranı (eğim) sabittir ve eğim = -10000 (m³/yıl).
-
Yani kapasite her yıl 10000\ \mathrm{m^3} azalır. Bunu matematiksel olarak:
f'(x) = -10000 \quad \text{(m}^3\text{/yıl)}
- Alternatif gösterim (binlik birimle): Bu, yıllık bazda -10 (x1000 m³ / yıl) olarak da ifade edilebilir.
5. Özet Tablo
| Soru | Hesaplama / Gözlem | Sonuç |
|---|---|---|
| a) Maksimum kapasite | f(0)=b,\ f(20)=0 \Rightarrow b=10000\cdot20 | 200 000 m³ |
| b) En az olduğu yıl | Fonksiyon azalan, en küçük değer x=20'de | 20. yılın sonunda (f(20)=0 m³) |
| c) Değişim oranı | Eğim m=-10000 | -10000 m³/yıl (yıllık azalma: 10 000 m³) |
6. Kısa Sonuç Özeti
- Barajın maksimum depolama kapasitesi: 200 000 m³.
- En az olduğu zaman: 20. yılın sonunda (kapasite 0 m³).
- Zamana göre değişim oranı: -10000 m³/yıl (yani her yıl 10 000 m³ azalır).
Eğer isterseniz birim gösterimleri (metreküp mı yoksa “x1000 m³” biçimi) veya grafiğin orijinal ölçeği üzerinden tekrar kontrol edip sonucu birimlerle kesinleştirebiliriz. @Mehmet_Kaygusuz
Table of Contents
- Problem 3: Linear Function from Its Graph
- Solution to Problem 3
2.1. Algebraic Representation of f
2.2. Slope of f
2.3. Zero of f
2.4. Sign (işaret) of f - Problem 4: Dam Water Storage Capacity
- Solution to Problem 4
4.1. Maximum Storage Capacity
4.2. Minimum Capacity – End of Which Year?
4.3. Rate of Change of Capacity - Summary Table
1. Problem 3: Linear Function from Its Graph
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir (f) doğrusal fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir:
Buna göre:
a) (f) fonksiyonunun cebirsel temsilini yazınız.
b) (f) fonksiyonunun grafiğinin eğimini bulunuz.
c) (f) fonksiyonunun sıfırını (kökünü) bulunuz.
ç) (f) fonksiyonunun işaretini bulunuz.
2. Solution to Problem 3
2.1. Algebraic Representation of f
Grafikten, doğrusal fonksiyonun
- (y)-eksenini kestiği nokta: ((0,2))
- (x)-eksenini kestiği nokta: ((4,0))
Dolayısıyla, fonksiyonun genel formu
[
f(x) = m,x + b
]
olarak alınır.
Burada
[
b = f(0) = 2
\quad\text{ve}\quad
0 = f(4) = m\cdot 4 + 2
]
denkleminden
[
4m + 2 = 0
\quad\Longrightarrow\quad
m = -\tfrac12.
]
Sonuç olarak,
(\displaystyle f(x) = -\tfrac12,x + 2.)
2.2. Slope of f
Fonksiyonun eğimi (direyimi) (m), iki nokta arasındaki fark oranıdır:
[
m = \frac{0 - 2}{4 - 0} = -\tfrac12.
]
Eğim: (-\tfrac12)
2.3. Zero of f
Fonksiyonun sıfırını (kökünü) bulmak için (f(x)=0) yapılır:
[
0 = -\tfrac12,x + 2
\quad\Longrightarrow\quad
-\tfrac12,x = -2
\quad\Longrightarrow\quad
x = 4.
]
Sıfır noktası: (x=4)
2.4. Sign (işaret) of f
- Doğrusal ve negatif eğimli bir fonksiyon olduğundan, sağa gidildikçe değerler azalır.
- (f(x)>0) için (x<4).
- (f(x)<0) için (x>4).
İşaret tablosu:
| Aralık | İşaret |
|---|---|
| (x < 4) | Pozitif |
| (x = 4) | Sıfır |
| (x > 4) | Negatif |
3. Problem 4: Dam Water Storage Capacity
Bir barajın su depolama kapasitesi, o barajda depolanabilecek maksimum su miktarını ifade eder. Bu kapasite zamanla erozyon ve kirlilik gibi etkenlerle azalmaktadır.
Barajın kapasitesi (t) yılına bağlı olarak şu doğrusal fonksiyonla verilmiştir:
[
f(t) = -1000,t + b,\quad t\in [0,20],
]
burada (b) başlangıçtaki (t=0’daki) maksimum kapasitedir.
Sorular:
a) Barajın su depolama kapasitesinin en fazla kaç m³ olduğunu bulunuz.
b) Hangi yılın sonunda kapasite en az olur?
c) Kapasitenin zamana bağlı değişim oranını (eğimini) bulunuz.
4. Solution to Problem 4
4.1. Maximum Storage Capacity
Doğrusal fonksiyon (f(t)=-1000,t+b) y eksenini (t=0)’da keser.
- En büyük değer (f(0)) formunda gerçekleşir:
[
\boxed{f_{\max} = f(0) = -1000\cdot0 + b = b\ \text{(m³)}.}
]
4.2. Minimum Capacity – End of Which Year?
Eğim (-1000) olduğundan fonksiyon azalan bir doğru.
- En küçük değer (t=20) noktasında:
[
\boxed{\text{Kapasitenin en az olduğu zaman: 20. yılın sonu.}}
]
4.3. Rate of Change of Capacity
Doğrusal fonksiyonun değişim oranı, eğim (direyim) terimidir:
[
\boxed{\frac{\Delta f}{\Delta t} = -1000\ \text{(m³/yıl)}.}
]
Yani her yıl kapasite 1000 m³ azalır.
5. Summary Table
| Soru | Sonuç |
|---|---|
| 3a) (f(x)) cebirsel temsil | (\displaystyle -\tfrac12x + 2) |
| 3b) Eğim (m) | (-\tfrac12) |
| 3c) Sıfır | (x=4) |
| 3ç) İşaret | (x<4: +,;x=4:0,;x>4:-) |
| 4a) Maksimum kapasite | (b) (m³) |
| 4b) Minimum yıl | 20. yılın sonunda |
| 4c) Değişim oranı (eğim) | (-1000) m³/yıl |
Özet:
- Problem 3’te grafikten alarak (f(x)= -\tfrac12x+2) denklemi, eğim, sıfır ve işaret aralıkları açıklandı.
- Problem 4’te, fonksiyonun azalan yapısı gereği maksimum değer (t=0)’da (b) m³, minimum değer (t=20)’de elde edilir ve yıllık azalma hızı (-1000) m³/yıl olarak bulundu.