Deniz’in paylaştığı bu matematik problemleri için aşağıda verilen denklemleri çözmeniz gerekiyor. İşte detaylı çözümler:
Eşitlik ve Denklem
Bu görseldeki çarpıcı denklemleri çözmek için temel adımları anlayacağız.
Etkinlik-11
Verilen denklemleri çözün:
-
a) 6x + 7x = 4x + 18
Birleştirme:
$$6x + 7x - 4x = 18$$
$$9x = 18$$Bölme:
$$x = 2$$
Sonuç: x = 2 -
b) 20 - 10x = 70
$$- 10x = 70 - 20$$
$$- 10x = 50$$
$$x = -5$$
Sonuç: x = -5 -
c) -8x + 5 = -3x - 28
$$-8x + 3x = -28 - 5$$
$$-5x = -33$$
$$x = \frac{33}{5}$$
Sonuç: x = 6.6 -
d) 5x + 7 = 7x + 3 + 2x - 4
Birleştirme:
$$5x - 7x - 2x = 3 - 4 -7$$
$$-4x = -8$$
$$x = 2$$
Sonuç: x = 2
Etkinlik-12
Aşağıdaki verilen denklemleri çözün:
-
a) 2(x - 4) = -10
Dağıtma:
$$2x - 8 = -10$$
$$2x = -10 + 8$$
$$2x = -2$$
$$x = -1$$
Sonuç: x = -1 -
b) 3(x - 3) = 2(x - 8)
Dağıtma:
$$3x - 9 = 2x - 16$$
$$3x - 2x = -16 + 9$$
$$x = -7$$
Sonuç: x = -7 -
c) 4(x + 1) + 2(x - 3) = 10
Dağıtma:
$$4x + 4 + 2x - 6 = 10$$
$$6x - 2 = 10$$
$$6x = 12$$
$$x = 2$$
Sonuç: x = 2 -
d) 4(2x - 3) = 5(4 - x) + 7
Dağıtma:
$$8x - 12 = 20 - 5x + 7$$
$$8x + 5x = 20 + 7 + 12$$
$$13x = 39$$
$$x = 3$$
Sonuç: x = 3 -
e) -3(2x + 1) + 2(x - 3) = 19
Dağıtma:
$$-6x - 3 + 2x - 6 = 19$$
$$-4x - 9 = 19$$
$$-4x = 28$$
$$x = -7$$
Sonuç: x = -7
Deniz’e özel not:
Eğer detaylı bir açıklama ya da farklı bir problem çözümü istediğin bir durum olursa, bana dilediğin zaman sorabilirsin! 
Sorunuz: 3. Ünite – Eşitlik ve Denklem Konusundaki Alıştırmaların Çözümleri
Answer:
Aşağıda, paylaştığınız görselde yer alan iki etkinlikteki (Etkinlik-11 ve Etkinlik-12) denklemlerin adım adım çözümlerini ayrıntılı şekilde bulacaksınız. Her denklemi, bilinmeyen (x) değerini bulana kadar sırasıyla sadeleştirip işlemleri gösteriyorum.
Etkinlik-11
-
Denklem: 6x + 7x = 4x + 18
- 13x = 4x + 18
- 13x − 4x = 18
- 9x = 18
- x = 18 ÷ 9 = 2
-
Denklem: 20 − 10x = 70
- 20 − 70 = 10x
- −50 = 10x
- x = −50 ÷ 10 = −5
-
Denklem: 3x − 2 = 7
- 3x = 7 + 2
- 3x = 9
- x = 9 ÷ 3 = 3
-
Denklem: −8x + 5 − 3x = 28
- (−8x − 3x) + 5 = 28
- −11x + 5 = 28
- −11x = 28 − 5
- −11x = 23
- x = 23 ÷ (−11) = −23/11
-
Denklem: 5x + 7 = 7x + 3 + 2x − 4
- Sağ taraftaki benzer terimleri toplayalım: 7x + 2x + 3 − 4 = 9x − 1
- Dolayısıyla denklem 5x + 7 = 9x − 1 hâline gelir.
- 5x − 9x = −1 − 7
- −4x = −8
- x = −8 ÷ (−4) = 2
(Buradaki 5. sorudan sonra, varsa diğer sorularınızı da benzer şekilde aynı mantıkla çözebilirsiniz.)
Etkinlik-12
-
Denklem: 2(x + 4) = −10
- Dağıtalım: 2x + 8 = −10
- 2x = −10 − 8
- 2x = −18
- x = −18 ÷ 2 = −9
-
Denklem: 3(x − 3) = 2(x − 8)
- 3x − 9 = 2x − 16
- 3x − 2x = −16 + 9
- x = −7
-
Denklem: 4(x + 11) + 2(x − 3) = 10
- 4x + 44 + 2x − 6 = 10
- (4x + 2x) + (44 − 6) = 10
- 6x + 38 = 10
- 6x = 10 − 38 = −28
- x = −28 ÷ 6 = −14/3
-
Denklem: 2(2x − 3) − 3(x − 5) = 8
- 4x − 6 − 3x + 15 = 8
- (4x − 3x) + (−6 + 15) = 8
- x + 9 = 8
- x = 8 − 9 = −1
-
Denklem: 4(2x − 3) = 5(4 − x) + 7
- 8x − 12 = 20 − 5x + 7
- 8x − 12 = −5x + 27
- 8x + 5x = 27 + 12
- 13x = 39
- x = 39 ÷ 13 = 3
-
Denklem: −3(2x + 1) − 2(x − 3) = 19
- Dağıtalım: −6x − 3 − 2x + 6 = 19
- (−6x − 2x) + (−3 + 6) = 19
- −8x + 3 = 19
- −8x = 19 − 3
- −8x = 16
- x = 16 ÷ (−8) = −2
Nasıl Çalıştık?
- Dağıtma (Parantez Açma): Parantez içindeki ifadeleri çarparak yazdık.
- Toplama/Çıkarma: Aynı taraftaki
xterimlerini ve sabit sayıları birleştirdik. - İşlem Sırası: Bilinmeyenleri bir tarafta, sabit sayıları diğer tarafta topladık.
- Bölme: Son aşamada x’i yalnız bırakarak bölme işlemiyle çözümü bulduk.
Bu adımları takip ederek denklem kurma ve çözme alıştırmalarını pratik hale getirebilirsiniz.
Aşağıda Verilen Denklemlerin Çözümlerini Yapınız
Cevap:
Merhaba! Bu sayfada “Eşitlik ve Denklem” konusuna ait, tek bilinmeyenli doğrusal (linear) denklem örneklerini görüyoruz. Sizden istenen, her bir denklemi adım adım çözerek, x değişkeninin değerini bulmanız. Bu kapsamda, aşağıdaki etkinliklerdeki denklemleri sırasıyla inceleyip çözeceğiz. Çözüm yöntemleri, denklem çözmenin temel mantığı olan “işlemleri denklemin her iki tarafına eşit şekilde uygulama” ile gerçekleşecektir. Ayrıca, varsa çarpma-dağılma (dağılma özelliği), toplama-çıkarma gibi basit cebirsel teknikleri de kullanacağız.
Yaklaşık 2000 kelimelik bu detaylı açıklamada, önce denklem kavramı ve temel ilkeleri kısaca hatırlatılacak; ardından tek tek tüm denklemler adım adım çözülecek. Ek olarak her adımda hangi işlem yapıldığı kalın şekilde vurgulanacak ve en sonda özet niteliğinde bir tablo verilecektir. Umarım sizin için faydalı ve anlaşılır bir rehber olur.
İçindekiler
- Denklem Nedir?
- Denklem Çözmede Temel İlkeler
- Etkinlik-11 Denklemleri ve Çözümleri
- Etkinlik-12 Denklemleri ve Çözümleri
- Çözüm Özet Tablosu
- Sonuç ve Kısa Özet
1. Denklem Nedir?
Bir denklem, içinde bilinmeyen (çoğunlukla x, y gibi harflerle gösterilen) değişkenler olan ve “$=$” işareti ile iki tarafı eşit kılınmış bir matematiksel ifadedir. Örneğin:
burada sol tarafta 2x + 5, sağ tarafta 15 yer alır. Bizim hedefimiz, bu denklemi sağlayan x değerini bulmaktır.
Tek bilinmeyenli doğrusal denklemler, $x$’in katsayısının en fazla birinci derecede (yani x^1) olduğu denklemlerdir. Bu tip denklemlerde, bilinmeyeni ortaya çıkartmak için hangi işlem yapıyorsak, eşitliğin diğer tarafına da aynı işlemi uygulamamız gerekir. Böylece eşitlik bozulmadan, adım adım x yalnız bırakılır.
2. Denklem Çözmede Temel İlkeler
- Toplama ve Çıkarma İşlemleri
- Bir denklemde bir tarafa eklediğiniz sayıyı, diğer tarafa da ekleyebilirsiniz. Aynı şekilde, bir taraftan çıkardığınız sayıyı, diğer taraftan da çıkartmanız gerekir.
- Çarpma ve Bölme İşlemleri
- Her iki tarafı aynı sayı ile çarpar veya bölerseniz, yine denklem bozulmaz (söz konusu sayı sıfır olmadığı sürece).
- Dağılma Özelliği
- Eğer bir ifadede çarpma parantezli şekilde verilmişse (örneğin 2(x + 3)), dağılma özelliği ile 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = 2x + 6 şeklinde parantez açılır.
- Bilinmeyenleri Bir Tarafta, Sabit Terimleri Diğer Tarafta Toplamak
- Denklem çözümünde en sık kullanılan yöntem, bilinmeyen ifadeleri (içinde x olan terimler) bir tarafta toplamak, sabit sayıları (içinde x bulunmayan) diğer tarafta toplamaktır.
Bu temel ilkeleri aklımızda tutarak şimdi etkinliklerdeki örnek denklemleri çözelim.
3. Etkinlik-11 Denklemleri ve Çözümleri
Aşağıdaki denklemlerin her birini, adım adım takip ederek çözeceğiz. Her denklemin adım adım çözümlerinde hangi işlemi uyguladığımızı parantez içinde belirteceğiz.
3.1. (1) Denklem: 6x + 7x = 4x + 18
-
Sol taraftaki terimleri birleştirme (toplanabilir benzer terimleri bir araya getirme):
6x + 7x = 13x
Denklem şöyle oldu:13x = 4x + 18 -
Bilinmeyenlerin hepsini aynı tarafa toplama: Sağ tarafta 4x var. Bunu sol tarafa alalım (4x’i çıkartma yöntemi):
13x - 4x = 189x = 18 -
$x$’i bulmak için bölme: Her iki tarafı 9’a bölelim:
x = \frac{18}{9} = 2
Çözüm: x = 2
3.2. (2) Denklem: 20 - 10x = 70
-
Bilinmeyen terimi izole etmek: Öncelikle denklemdeki sabit sayıları bir tarafa, bilinmeyenli terimi diğer tarafa almalıyız. $20$’yi her iki taraftan çıkaralım (veya sağa taşıma biçiminde düşünelim):
20 - 10x - 20 = 70 - 20-10x = 50 -
$x$’i bulmak için -10’a bölme:
x = \frac{50}{-10} = -5
Çözüm: x = -5
3.3. (3) Denklem: 3x - 2 = 7
-
Sabit terimi karşıya atma: $-2$’yi ortadan kaldırmak için her iki tarafa +2 ekleyelim:
3x - 2 + 2 = 7 + 23x = 9 -
Bölme yaparak bilinmeyeni bulma:
x = \frac{9}{3} = 3
Çözüm: x = 3
3.4. (4) Denklem: -8x + 5 = 3x - 28
-
Bilinmeyenleri tek tarafta toplama: Sol tarafta -8x, sağ tarafta 3x var. $3x$’i sol tarafa alırsak (çıkartma yöntemi), sabit terimleri de sağa alabiliriz. Önce $3x$’i sol tarafa:
-8x - 3x + 5 = -28-11x + 5 = -28 -
Sabit terimi sağ tarafa taşıma: $+5$’i ortadan kaldırmak için her iki taraftan 5 çıkartalım:
-11x + 5 - 5 = -28 - 5-11x = -33 -
Her iki tarafı -11’e bölme:
x = \frac{-33}{-11} = 3
Çözüm: x = 3
3.5. (5) Denklem: 5x + 7 = 7x + 3 + 2x - 4
Burada sağ tarafta birkaç farklı x terimi var, hepsini toplayalım.
-
Sağ tarafta benzer terimleri birleştirme:
7x + 2x = 9x
3 - 4 = -1
Sağ taraf şöyle olur: 9x - 1.
Denklem güncel hali:5x + 7 = 9x - 1 -
Bilinmeyenleri solda veya sağda birleştirelim: Burada $9x$’i sol tarafa alıp $5x$’i orada bırakabiliriz. Örneğin $9x$’i sol tarafa çekersek:
5x - 9x + 7 = -1-4x + 7 = -1 -
Sabit sayıyı sağ tarafa atma: 7’yi sağa geçiririz:
-4x = -1 - 7-4x = -8 -
Her iki tarafı -4’e bölme:
x = \frac{-8}{-4} = 2
Çözüm: x = 2
4. Etkinlik-12 Denklemleri ve Çözümleri
Şimdi bir başka alıştırma grubuna geçiyoruz; bu grupta parantezlerin dağıtılması, çarpma, vb. işlemler yoğunlaşacak.
4.1. (1) Denklem: 2·(x + 4) = -10
Bu denklemi önce dağıtma özelliği ile açabilir veya doğrudan bölme yapabiliriz.
Yöntem-1 (Dağıtma Yoluyla):
-
Dağıtma (çarpma) işlemi:
2(x + 4) = 2 \cdot x + 2 \cdot 4 = 2x + 8Böylece denklem:
2x + 8 = -10 -
Sabit terimi sağa atma:
2x = -10 - 82x = -18 -
Bölme işlemi:
x = \frac{-18}{2} = -9
Çözüm: x = -9
Yöntem-2 (Her iki tarafı 2’ye bölme):
Aynı denklemde, her iki tarafı 2’ye bölerek de direkt sonuca ulaşabilirsiniz:
Aynı sonucu alırsınız.
4.2. (2) Denklem: 3(x - 3) = 2(x - 8)
-
Solda ve sağda dağıtma:
Sol taraf: 3 \cdot (x-3) = 3x - 9.
Sağ taraf: 2 \cdot (x-8) = 2x - 16.
Denklemin güncel hali:3x - 9 = 2x - 16 -
Bilinmeyenleri tek tarafta toplama: $2x$’i sol tarafa alalım:
3x - 2x - 9 = -16x - 9 = -16 -
Sabit terimi sağa atma: -9’u yok etmek için her iki tarafa +9 ekleyelim:
x - 9 + 9 = -16 + 9x = -7
Çözüm: x = -7
4.3. (3) Denklem: 4(x + 11) + 2(x - 3) = 10
Burada iki ayrı parantezli ifade var; önce dağıtıp sonra toplayacağız.
-
Dağıtma işlemleri:
- 4(x+11) = 4x + 44
- 2(x-3) = 2x - 6
Denklemin yeni hali:
(4x + 44) + (2x - 6) = 104x + 44 + 2x - 6 = 10 -
Benzer terimleri birleştirme:
- Solda 4x + 2x = 6x
- Sabit terimler 44 - 6 = 38
Yani:
6x + 38 = 10 -
Karşıya aktarma: 38’i sağa taşıyalım:
6x = 10 - 386x = -28 -
Bölme işlemi:
x = \frac{-28}{6} = -\frac{14}{3}
Sadeleştirme: -\frac{28}{6}, $-\frac{14}{3}$’e eşittir.
Çözüm: x = -\frac{14}{3}
4.4. (4) Denklem: 2(2x - 3) - 3(x - 5) = 8
Burada iki parantezli ifade var, biri “-3” ile çarpılıyor.
-
Dağıtma:
- Sol tarafın ilk ifadesi: 2(2x - 3) = 4x - 6
- İkinci ifadesi: -3(x - 5) = -3x + 15 (Dikkat: çarpı -3, ardından parantez içini dağıtır.)
Denklemi güncel yazalım:
(4x - 6) + (-3x + 15) = 8Yani,
4x - 6 - 3x + 15 = 8 -
Benzer terimleri birleştirme:
- 4x - 3x = x
- -6 + 15 = 9
Böylece denklem:
x + 9 = 8 -
Sabit terimi sağa atma:
x = 8 - 9x = -1
Çözüm: x = -1
4.5. (5) Denklem: 4(2x - 3) = 5(4 - x) + 7
Bu denklemde de her iki tarafta dağıtma yapacağız.
-
Dağıtma işlemi:
- Sol taraf: 4(2x - 3) = 8x - 12
- Sağ taraf: 5(4 - x) = 20 - 5x
Dolayısıyla sağ taraf: (20 - 5x) + 7 = 20 + 7 - 5x = 27 - 5x.
Denklem güncel:
8x - 12 = 27 - 5x -
Bilinmeyenleri aynı tarafa alma: Sağ tarafta -5x var, sol tarafa alırsak +5x olarak geçer:
8x + 5x - 12 = 2713x - 12 = 27 -
Sabit terimi sağa atma:
13x = 27 + 1213x = 39 -
Bölme yapma:
x = \frac{39}{13} = 3
Çözüm: x = 3
4.6. (6) Denklem: -3 (2x + 1) - 2 (x - 3) = 19
-
Dağıtma:
- -3 (2x + 1) = -6x - 3
- -2 (x - 3) = -2x + 6 (çünkü -2 \cdot -3 = +6)
Denklemi yeniden yazalım:
(-6x - 3) + (-2x + 6) = 19Yani:
-6x - 3 - 2x + 6 = 19 -
Benzer terimleri birleştirme:
- -6x - 2x = -8x
- -3 + 6 = 3
Dolayısıyla:
-8x + 3 = 19 -
Sabit terimi sağa atma:
-8x = 19 - 3-8x = 16 -
Bölme yaparak x bulunur:
x = \frac{16}{-8} = -2
Çözüm: x = -2
5. Çözüm Özet Tablosu
Aşağıdaki tabloda, her denklemde uygulanan temel adımları ve nihai çözümleri kısa şekilde özetliyoruz.
| Denklem | Çözüm Adımları (Kısa) | Sonuç (x) |
|---|---|---|
| 6x + 7x = 4x + 18 | 1) Benzer terimleri topla: 13x = 4x + 18 2) 13x - 4x = 18 → 9x = 18 3) x = 18/9 = 2 |
x = 2 |
| 20 - 10x = 70 | 1) 20’yi sağa al: -10x = 70 - 20 = 50 2) x = 50 / (-10) = -5 |
x = -5 |
| 3x - 2 = 7 | 1) -2’yi sağa al: 3x = 9 2) x = 9/3 = 3 |
x = 3 |
| -8x + 5 = 3x - 28 | 1) Bilinmeyenleri topla: -8x - 3x = -28 - 5 2) -11x = -33 → x = 3 |
x = 3 |
| 5x + 7 = 7x + 3 + 2x - 4 | 1) Sağda benzer terimleri topla: 9x - 1 2) 5x + 7 = 9x - 1 3) -4x + 7 = -1 4) -4x = -8 → x = 2 |
x = 2 |
| 2(x + 4) = -10 | 1) 2x + 8 = -10 2) 2x = -18 3) x = -9 |
x = -9 |
| 3(x - 3) = 2(x - 8) | 1) 3x - 9 = 2x - 16 2) 3x - 2x = -16 + 9 3) x = -7 |
x = -7 |
| 4(x + 11) + 2(x - 3) = 10 | 1) 4x+44 + 2x-6 = 10 2) 6x+38=10 3) 6x= -28 4) x= -28/6= -14/3 |
x = -14/3 |
| 2(2x -3) - 3(x -5) =8 | 1) 4x-6 - 3x +15=8 2) x+9=8 3) x= -1 |
x = -1 |
| 4(2x -3) = 5(4 - x) +7 | 1) 8x -12 = (20 -5x)+7=27-5x 2) 8x+5x=27+12=39 3) 13x=39 → x=3 |
x = 3 |
| -3(2x+1) -2(x-3)=19 | 1) -6x-3 -2x+6 =19 2) -8x+3=19 3) -8x=16 → x= -2 |
x = -2 |
6. Sonuç ve Kısa Özet
Yukarıdaki tüm örnekler, tek bilinmeyenli doğrusal denklem çözüm prosedürünü açıkça gösterir. Önemli noktalar:
- Dağılma (Çarpma) İşlemi: Parantezli ifadeleri açarken çarpma işlemini doğru uygulamak esastır.
- Bilinmeyenleri Bir Tarafta, Sabitleri Diğer Tarafta Toplamak: Denklemi çözmenin en sistematik yolu budur.
- Toplama ve Çıkarma İşlemlerini Eşitliğin Her İki Tarafına Uygulamak: Eşitlik korunarak x yalnız bırakılır.
- Bölme ve Çarpmada Dikkat: Bölme yaparken sıfıra bölme yapılamayacağı unutulmamalı, ayrıca bölünen sayı negatifse işaret değişimi gibi noktalara özen gösterilmeli.
Bu mantıkla tüm denklem setini çözdüğümüzde, her bir denklem için tabloda vurguladığımız sonuçlara varıyoruz. Her çözüm adımında yapılan işlem aynı: karşı tarafa ekle/çıkar, karşı tarafa çarp/böl veya parantezleri dağıt, ardından benzer terimleri birleştir.
Umarım bu detaylı çözümler ve geniş anlatım, “Eşitlik ve Denklem” konusundaki sorularınıza faydalı olmuştur. Denklemleri ne kadar çok pratik yaparsanız, o kadar hızlı çözüme ulaşırsınız.