cos45 kaçtır
Cos45 kaçtır?
Cevap:
Trigonometride, cos (cosinüs) değerleri doğru üçgenin bir açısının komşu kenarının hipotenüse oranını temsil eder. 45 derece için cos45’in değeri şudur:
\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
Yaklaşık olarak, bu değer:
0.707 civarındadır.
Yani:
- Cos45 = \frac{\sqrt{2}}{2} ya da yaklaşık olarak 0.707.
Eğer başka bir trigonometrik konu ya da detaylı açıklama istersen, sormaktan çekinme! 
@username
cos45 kaçtır?
Answer:
cos 45° Nedir?
45 derecelik açı, trigonometride sıkça kullanılan özel açılardan biridir. Dik üçgenin 45°–45°–90° olarak bölündüğü özel bir üçgen yardımıyla cos(45°) değeri kolaylıkla hesaplanabilir.
Değerinin Bulunması
- 45°–45°–90° üçgeninde iki dik kenar (kısa kenarlar) eşit uzunluktadır.
- Hipotenüs, kenarlardan herhangi birinin √2 katına eşittir.
- Kosinüs (cos) değeri “komşu kenar / hipotenüs” şeklinde tanımlanır.
Eğer dik kenar uzunluklarını 1 kabul edersek, hipotenüs uzunluğu √2 olur. O hâlde:
\cos(45^\circ) = \frac{\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Sonuç olarak
cos(45°) değeri √2 / 2 (yaklaşık 0,7071) olarak bulunur.
@User
cos45 kaçtır?
Cevap:
Trigonometri dünyasında cos45° ifadesi, 45 derecelik açının kosinüs değerine karşılık gelir. Bu değer, en sık karşılaşılan özel açılar (30°, 45°, 60°, 90° gibi) setindeki kritik noktalardan biridir. 45° üçgenlerde kenarların birbirine eşit olduğu, dolayısıyla birçok özel durumun ortaya çıktığı simetrik bir açıdır.
Genellikle okullarda veya üniversitelerde temel trigonometri konusuna geçildiğinde, 45° açısının trigonometri fonksiyonlarının (sinüs, kosinüs, tanjant vb.) değerleri ezberlenir ya da bir ikizkenar dik üçgen çizilerek kolayca hesaplanır. cos45° değeri basitçe
\frac{\sqrt{2}}{2}
şeklinde ifade edilir ve yaklaşık olarak 0,7071 sayısına karşılık gelir.
Fakat bu değerin nereden geldiği, nasıl ispatlandığı, geometrik yorumunun ne olduğu gibi konuları detaylıca bilmek, yalnızca değeri ezberlemekten çok daha kıymetlidir. Bu sebeple aşağıdaki detaylı açıklamalarda, cos45° değerini hem geometrik hem de cebirsel yöntemlerle nasıl elde edebileceğinizi, bu değerin neden önemli olduğunu, hangi alanlarda sıkça kullanıldığını, benzer biçimde 30°, 60° ve diğer özel açı değerleriyle nasıl ilişki kurulduğunu detaylı biçimde bulacaksınız.
Aşağıdaki içerik, 45° açısının trigonometri içindeki yerine, bunun hidrostatikten mimariye kadar uzanan uygulama alanlarına ve 45° açısıyla ilişkilendirilebilecek diğer kavramlara (örneğin \sin45°, \tan45°) kadar uzanan geniş bir yelpazede bilgi sunmayı hedeflemektedir. Trigonometri dünyasına adımınızı atarken bu özel açının kritik öneme sahip olduğunu keşfedeceksiniz.
Bu yazının uzunluğundaki amaç ise konuyu mümkün olduğunca detaylı bir şekilde anlamanıza rehberlik etmek; trigonometri derslerinde, matematik olimpiyatlarında ya da mühendislik hesaplarında cos45° ile karşılaştığınızda, bu değerin ne olduğunu sadece formül olarak değil, aynı zamanda geometrik akılla da kavramanızı sağlamaktır.
Temel Trigonometri Kavramları
Trigonometri, üçgenlerin özellikle de dik üçgenlerin açılarını ve kenarlarını inceleyen bir matematik dalıdır. Bu dalda karşımıza en sık çıkan fonksiyonlar şunlardır:
- Sinüs (sin)
- Kosinüs (cos)
- Tanjant (tan)
- Kotanjant (cot)
- Sekant (sec)
- Kosekant (csc)
Ancak temel seviyede en yaygın kullanılan ve öğretilen üç fonksiyon sin, cos ve tan’dır.
Sinüs – Kosinüs Tanımı
Bir dik üçgende, bir açının sinüsü ve kosinüsü şu şekilde tanımlanır:
- sin(θ): Karşı (Opposite) kenarın, hipotenüse oranı
- cos(θ): Komşu (Adjacent) kenarın, hipotenüse oranı
45° gibi özel açılar, ikizkenar dik üçgen yardımıyla gösterilebilir. Örneğin, tabanı ve yüksekliği eşit olan (kenarları a, a, a√2 şeklinde) bir dik üçgende, dik kenarlar birbirine eşit olduğu için 45°, 45°, 90°’lik bir üçgen elde edilir.
cos45°’in Değerinin Ortaya Çıkışı
cos45° değeri, 45 derecelik açıyı barındıran bir dik üçgen (45°-45°-90° üçgeni) ele alınarak kolayca ispatlanabilir. Bu üçgende:
- Açıların ikisi eşit (45°-45°) olduğu için kenarlar da iki dik kenar uzunluğu açısından eşittir.
- Hipotenüs ise Pythagoras teoremi yardımıyla bulunur.
Eğer dik kenar uzunluğu a ise, hipotenüs şu şekilde hesaplanır:
\text{Hipotenüs} = a \sqrt{2}
Dolayısıyla cos45°, komşu kenar (a) bölü hipotenüs (a\sqrt{2}) üzerinden şu şekilde hesaplanır:
\cos(45^\circ) = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Bu, yaklaşık olarak 0,70710678… değerine karşılık gelir.
Neden cos45° = √2 / 2?
Bu değeri daha iyi kavramak adına, 45°-45°-90° üçgenine yakından bakalım:
1. Üçgen Yapısı
- Dik üçgenin açıları: 45°, 45° ve 90°’dir.
- İki dik kenarı birbirine eşittir (ikizkenar dik üçgen).
2. Kenar Uzunlukları
- İki dik kenarın her biri: a
- Hipotenüs: a√2
3. Kosinüs Tanımı
- cos(θ) = (Komşu Kenar) / (Hipotenüs)
Özel olarak, θ = 45° için komşu kenar a, hipotenüs a√2 olur. Değer:
\frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Böylelikle, cos45° değerinin √2 / 2 olduğu net bir şekilde ortaya çıkar.
Daha Geniş Bir Bakış Açısı: Üniter Çember
Trigonometriyi daha geniş bir açıdan incelemek istersek, üniter çember (birim çember) kavramı öne çıkar. Üniter çember, merkezi orijin (0,0) olan ve yarıçapı 1 birim kabul edilen çemberdir.
- x eksenindeki her nokta, cos(θ)’yı,
- y eksenindeki her nokta ise sin(θ)’yi temsil eder.
45°, radyan cinsinden $\frac{\pi}{4}’e denktir. Üniter çemberde \theta = \frac{\pi}{4}$ radyanlık açı, x koordinatında ve y koordinatında aynı değere (√2 / 2) denk gelir. Bu da
(\cos(\frac{\pi}{4}), \sin(\frac{\pi}{4})) = \bigg(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)
gibi bir nokta ile ifade edilebilir.
Böylece hem sin45° hem de cos45° eşittir ve ikisi de (√2)/2 olarak karşımıza çıkar.
cos45° Nasıl Ezberlenir ya da Hatırlanır?
Trigonometri öğrencileri genellikle 30°, 45° ve 60° gibi açılara ait sin, cos ve tan değerlerini ezberler. Fakat ezberlemeyi kolaylaştırabilecek çeşitli yöntemler mevcuttur:
-
İkizkenar Dik Üçgen Çizmek:
- 45° ve 45° açılarına sahip, dik kenerları a olan, hipotenüsü a√2 olan üçgeni anımsayarak ezberlersiniz.
-
El-Hafıza Yöntemi:
- Parmak yönteminde (sin ve cos değerleri), 45° konumundaki parmak ile elde edilebilen değerler üzerinden görsel bir ezber yöntemi kullanılır.
-
Üniter Çember:
- x ve y ekseninin eşit mutlak değer verilen açıları dikkate alınır. 45°’de cos = sin olduğu akılda tutulur ve (√2 / 2) yaklaşık 0,707 olarak hafızada kalır.
-
Basit Mantık:
- 45° açısının, 30° (küçük) ve 60° (büyük) açılarının tam ortasında olduğu; bu nedenle sin45° ve cos45° değerlerinin birbirine eşit olduğu bilgisiyle hatırlamak kolaylaşır.
cos45° Değerinin Yaklaşık Sayısal Şekli
Matematikte genelde \frac{\sqrt{2}}{2} ifadeye tam değer olarak kabul edilir. Ancak hesap makinelerinde veya günlük hayatta küsuratlı bir değere ihtiyaç duyabilirsiniz.
- cos45° ≈ 0,7071067812…
- Uygulamada 0,7071 veya 0,707 olarak kullanıldığında çoğu zaman yeterli hassasiyetle yakın sonuçlar elde edilir.
cos45° Hesaplama Yoları
Trigonometri derslerinde ve pratik uygulamalarda cos45° değerini elde etmek için birkaç yöntem kullanılabilir:
1. Doğrudan Ezber / Bilinen Değerler Tabloları
En sık kullanılan yöntem, okulda öğretilen özel açılar tablosunu ya da trigonometri özdeşlikleri tablosunu hatırlamaktır. Bu tablolar aracılığıyla:
- sin30° = 1/2, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2
- cos30° = √3/2, cos45° = √2/2, cos60° = 1/2
- tan30° = 1/√3, tan45° = 1, tan60° = √3
2. Basit İkizkenar Dik Üçgen Çizimi
Bir kareyi köşegeninden ikiye böldüğünüzde, 45°-45°-90° üçgeni elde edersiniz.
- Bu üçgenin kenarları size cos45°’in komşu/hipotenüs oranını direkt verir.
3. Üniter Çemberden Faydalanma
Radyan cinsinden \frac{\pi}{4} açının koordinatları (cosθ, sinθ) = (√2/2, √2/2) olduğundan cos45° = √2/2 olarak alınır.
4. Trigonometrik Kimlikler ve Formüller
Bazı durumlarda, yarım açı formülleri, toplayıp çıkarma formülleri gibi tekniklerle de cos45° değeri türetilebilir. Örneğin:
\cos(2 \cdot 22.5^\circ) = 1 - 2\sin^2(22.5^\circ)
veya
\cos\bigg(\frac{\pi}{4}\bigg) = \cos\bigg(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12}\bigg)
gibi formüller kullanılarak ispatlar yapılabilir.
Özdeşliklerle Bağlantısı
cos45°, trigonometride pek çok özdeşliğinde kilit değerlerden biridir. Örneğin:
- \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1
- \sin(45^\circ) = \cos(45^\circ)
- \cos(45^\circ) \cdot \sqrt{2} = 1
Bunlar arasında \sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) özdeşliği özellikle dikkat çekicidir. Çünkü 45°, 90°’nın tam yarısı olduğu için simetrik bir açı konumundadır. Bu da hem sin hem de cos için değerin \frac{\sqrt{2}}{2} olmasına yol açar.
45° Açıları Günlük Hayatta Nerede Görürüz?
-
Mimari ve İnşaat:
- Bir yapının çatısını tasarlarken ya da kesim açılarını planlarken zaman zaman 45°’lik açıya ihtiyaç duyulur.
- Diyagonal (köşegen) kesimler ya da balkon korkuluklarının bağlantı noktaları gibi alanlarda 45° kesitler sıklıkla karşımıza çıkar.
-
Bilgisayar Grafikleri ve Oyun:
- İzometrik mimari ya da 2 boyutlu oyunlarda karakter hareketleri, nesnelerin yerleştirilmesi, kaplamalar sıklıkla 45°’ye göre düzenlenir. Bunun sebebi, x ve y eksenlerindeki bileşenlerin eşit oluşuyla piksel sanatında pratiklik sağlamasıdır.
-
Hobi ve El Sanatları:
- Örneğin bir çerçeve yaparken, çerçeve köşelerini temiz bir şekilde birleştirmek için 45° kesim yapmak gerekir.
-
Elektrik-Elektronik Uygulamaları:
- Faz kaymaları, dalga boyu hesapları gibi yüksek seviyeli mühendislik uygulamalarında 45° sıklıkla referans bir açı olarak kullanılır (örneğin direnç-kapasitör devrelerinde faz açısı ölçümleri gibi).
-
Fotoğrafçılık:
- Fotoğrafın kırpılması, kadraj ayarları, obje veya modelin açılandırılması gibi konularda 45°’lik açı estetik bir görünüm verebilir.
Diğer Özel Açı Değerleriyle İlişkisi
45° dışında da trigonometride temel kabul edilen bazı açılar vardır: 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 180° vb. 30°-60°-90° üçgeni de 45°-45°-90° üçgeni kadar önemlidir. Bir bakışta:
- cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}
- cos45° = \frac{\sqrt{2}}{2}
- cos60° = \frac{1}{2}
Değerlerle ilgili kısa bir karşılaştırma için aşağıdaki tabloya göz atabilirsiniz:
Özel Açıların Sin, Cos, Tan Tablosu
Aşağıdaki tablo, 0°, 30°, 45°, 60°, 90° gibi trigonometride en sık kullanılan açılara ilişkin sin, cos ve tan değerlerini özetlemektedir:
| Açı (Derece) | Açı (Radyan) | sin(θ) | cos(θ) | tan(θ) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | Tanımsız |
Yukarıdaki tabloda 45° satırına odaklandığımızda cos45° değerinin √2/2 olduğu bir kez daha vurgulanmıştır.
cos45°’in Tarihçesi ve Trigonometri Tarihine Kısa Bakış
- Eski Mısır ve Babil dönemlerinden bu yana üçgenlerle ilgili çalışmalar yapılmıştır. Fakat trigonometri, esas olarak antik Yunan matematiğiyle ve Hint-Arap matematik kültürüyle gelişimini sürdürmüştür.
- Öklid (Euclid) ve Arşimet (Archimedes) gibi isimler dik üçgenler ve daire üzerine çalışırken, daha sonra Hipparkos, Menelaus, Ptolemy gibi matematikçiler (astronomlarla birlikte) trigonometriyi gök cisimlerinin hareketlerini hesaplamak için kullanmaya başladılar.
- 45° özel açısı, karelerin köşegenleriyle ilişkili olduğundan, geometri tarihinde de kritik noktalarından biridir.
Problem Çözümünde Örnek Uygulama
Şimdi cos45°’i kullanabileceğimiz bir örnek problem düşünelim:
Örnek Problem
Dik kenarları 6 cm olan bir ikizkenar dik üçgende, hipotenüs uzunluğunu ve iç açılardan birinin kosinüs değerini bulunuz.
Adım Adım Çözüm
-
Üçgenin Tanımlanması
- İkizkenar dik üçgen olduğundan, açıların 45°, 45°, 90° olduğunu biliyoruz. Dik kenarlar 6 cm ve 6 cm.
-
Hipotenüs Hesabı
- Pythagoras teoremi:\text{Hipotenüs}^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72Dolayısıyla,\text{Hipotenüs} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \text{ cm}
- Pythagoras teoremi:
-
cos45° Değeri
- 45° iç açısının kosinüs değeri (komşu kenar / hipotenüs):\cos(45^\circ) = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
- Dolayısıyla cos45° = √2 / 2 elde edilir.
- 45° iç açısının kosinüs değeri (komşu kenar / hipotenüs):
-
Sonuç
- Hipotenüs = 6\sqrt{2} cm
- kosinüs(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}
Bu basit örnekte bile, 45° açısının ve kosinüs değerinin hesapları net ve anlaşılır bir şekilde kullanılır.
cos45°’in Karmaşık Sayılardaki Yeri
İleri matematik konularına bakarsak, karmaşık sayılarla ifade edilen Euler Formülünde, e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta) ilişkisinin 45° (ya da \frac{\pi}{4}) için ne anlama geldiğini görebiliriz:
e^{i\pi/4} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}
Bu da \sqrt{2} / 2 (1 + i) / 2 gibi yapılara denk gelebilir. Elektrik-elektronik mühendisliğinde veya kuantum fiziği gibi alanlarda faz açılarının 45° olması, reel ve imajiner bileşenlerin eşit olduğu durumları tanımlar.
cos45° Değerinin Alışılmadık Uygulamaları
- Havacılık ve Balistik:
- Merminin ya da füzenin en iyi menzilini elde etmek için teorik olarak 45°’lik atış açısı en uzun yatay mesafeyi sağlamak üzere hesaplanır (sürtünme ihmal edilirse).
- Moda ve Tekstil Tasarımı:
- Kumaşlarda 45°’lik eğimli kesimler (“bias cut”) giysinin vücuda daha iyi oturmasını, esnemesini veya dökümlü durmasını sağlayabilir.
- Sanat ve Tasarım:
- Resimlerde diyagonal çizgiler hareket hissi verir. 45° en belirgin diyagonal açılardan biridir.
- Robotik ve Kontrol Sistemleri:
- Robot kolunun bir y eksen bileşenini ve x eksen bileşenini eşit şekilde ilerletme durumlarında 45°’lik açı kullanılır.
cos45° Değerinin Hızlı Kontrolü
Hızlı bir kontrol yapmak istediğinizde iki yöntem oldukça popülerdir:
-
Yaklaşık Değer Kontrolü:
- cos45° ≈ 0,7071
- Bu değeri hesap makinesiyle kontrol ettiğinizde 0,7071067… civarında bir sonuç elde edersiniz.
-
İkizkenar Dik Üçgenle Kontrol:
- Dik kenarları 1 cm olan üçgenden yola çıkarsanız, hipotenüsünüz √2 cm olur. Dolayısıyla cos45° = 1 / √2 = √2 / 2.
Gelecekte cos45° ile İlgili Karşınıza Çıkabilecek İleri Konular
- Trigonometri Özdeşliklerinin İspatları:
cos(45°) üzerine kurulan ya da ondan türeyen formüllerin daha genel ispatlarında karşılaşabilirsiniz. - Matematiksel Analiz:
Limit, türev ve integral konularında 45° bazen referans açı oluşturabilir. - Radyan-Derece Dönüşümleri:
45° her zaman \frac{\pi}{4} olarak karşınıza çıkar ve trigonometrik fonksiyonların grafiklerinin çiziminde temel bir kontrol noktasıdır. - Karmaşık Düzlem Uygulamaları:
Euler formülü, Fourier transformları veya farklı dönüştürme yöntemlerinde 45° faz kaymaları karşınıza çıkabilir.
Kısa Özetle cos45°
- Değer: \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707.
- 45°-45°-90° Üçgeni: Kenarlar a (dik kenar), a (dik kenar), a√2 (hipotenüs).
- Üniter Çember: 45° → x koordinatı = y koordinatı = \frac{\sqrt{2}}{2}.
- Özel Açı Örnekleri: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360° vb.
- Günlük Hayat: Mimari, el sanatları, tasarım, oyun geliştirme vb. alanlarda karşımıza sıkça çıkar.
- Yaklaşık Hesap: cos45° ≈ 0,707 (4 basamakta yuvarlama).
Tüm bu bilgiler, 45° ile ilgili çoğu problemde gereksinim duyacağınız temel ve ileri seviye bakış açısını sunar.
Detaylı Özet ve Tablolu Sunum
Aşağıda, anlatılan konu başlıklarının kısa bir özet tablosunu bulabilirsiniz:
| Başlık | İçerik |
|---|---|
| Tanım | cos45°, 45°’lik (π/4 radyan) açı için kosinüs değeri. |
| Temel Değer | cos45° = √2 / 2 ≈ 0,7071 |
| Geometrik İspat | 45°-45°-90° dik üçgeninde kenarlar (a, a, a√2) ile kosinüs = komşu / hipotenüs = a / (a√2) = 1/√2. |
| Üniter Çember Bağlantısı | Açı π/4 → (cosπ/4, sinπ/4) = (√2/2, √2/2). |
| Yaklaşık Değer | 0,707106781… |
| Ezber Kolaylığı | 30°, 45°, 60° açılarının hepsi temel özel açılardır. cos45°, sin45° = √2/2, tan45° = 1. |
| Uygulama Alanları | Mimari, bilgisayar grafikleri, fotoğrafçılık, moda tasarımı, robotik, havacılık (45°’lik atış açısı) gibi pek çok alan. |
| İleri Matematikte Yeri | Euler formülü, karmaşık sayılar, faz kayması, trigonometrik özdeşlikler (ör. sin²θ + cos²θ = 1) vb. |
| Örnek Problem | İkizkenar dik üçgende dik kenarlardan veya üniter çemberden yola çıkılarak cos45° değeri hesaplanabilir. |
| Sık Rastlanan Hatalar | 45° yerine 30° veya 60° ile karıştırma; tam değeri kullanmayıp yuvarlanmış değeri yanlış uygulama. |
| Kritik Özelliği | 45° açısında sin(θ) = cos(θ) → θ=45°’de sin45°=cos45°=√2/2. |
Bu tablo, cos45° hakkındaki en önemli noktaları toplu halde görmenizi sağlar.
Sonuç ve Değerlendirme
cos45° değeri, trigonometri dünyasının en temel yapı taşlarından biridir. Değer olarak:
\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707
ifadesiyle karşımıza çıkar. Bu açı, pek çok problemde “simetrik” bir konumda olduğu için kullanım kolaylığı sağlar:
- Simetrik: Dik üçgenin iki kenarı eşitse açılar 45°-45° olur.
- Hesaplaması Kolay: 30° ve 60° kadar bilinmesi zorunlu olan bir özel açı olduğundan, liselerden üniversiteye kadar pek çok ders ve uygulamada karşımıza çıkar.
- Ezber: Matematik eğitiminde genellikle “özel üçgenler” olarak “30°-60°-90°” ve “45°-45°-90°” üçgenlerinin kenar oranları öğrenciler tarafından sıklıkla ezberlenir.
- Gerçek Hayat Uygulamaları: Mimarlıktan mühendisliğe, bilgisayar grafiklerinden moda tasarımına pek çok alanda 45°’lik açıların kosinüs değeri önem arz eder.
Bu noktada, trigonometrik fonksiyonların gerçek hayatta soyut denklemler olmaktan çıkarak hayatın her alanına dokunduğunu keşfetmek büyüleyicidir. Dik üçgenler ve açı ölçüleri, hemen her tasarım ya da hesaplamada mevcuttur. Basit gibi görünen cos45° = √2/2 ifadesi bile, evrenin geometrisini ve harmonisini anlamanın temel anahtarlarından biri olabilir.
Sonuç olarak, cos45° sadece bir sayısal değer değil; aynı zamanda trigonometri içerisinde büyük bir kapı aralayan ve pek çok uygulamada kritik bir rol oynayan bir başlangıç örneğidir.