Cos40 = m ise sin10·sin80·sin100·sin170 hangisine eşittir?

YKS TYT
1

image
image665×394 24.3 KB

2

Trigo Probleminde Verilen İfade Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilen ifade: (\sin 10^\circ \cdot \sin 80^\circ \cdot \sin 100^\circ \cdot \sin 170^\circ)
  • Bilinen: (\cos 40^\circ = m)
  • Amaç: Verilen ifade ile (m) cinsinden tanımlanmış seçeneklerden birini eşitlemek.

[
\sin 10^\circ \sin 80^\circ \sin 100^\circ \sin 170^\circ = ?
]

İçindekiler

  1. Trigonometri Temel Kimlikleri
  2. Verilen İfadenin Analizi
  3. Sonucun (m = \cos 40^\circ) cinsinden ifadesi
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Trigonometri Temel Kimlikleri

  • Sinüs tamamlayıcı açı kimliği:
    [
    \sin (180^\circ - \theta) = \sin \theta
    ]

  • Sinüs-kosinüs bağıntısı:
    [
    \sin \theta = \cos (90^\circ - \theta)
    ]

  • Çarpanlara ayırma ve açılarla ilişkiler kullanılır.

:light_bulb: Pro Tip: Sorularda açılar (180^\circ - \theta), (90^\circ \pm \theta) gibi kombinasyonlarda verildiğinde trigonometrik açı kimliklerini kullanarak ifadeyi sadeleştirmek mümkün olur.

2. Verilen İfadenin Analizi

İfadeyi açalım ve trigonometrik özdeşliklerden yararlanalım:

[
\sin 170^\circ = \sin (180^\circ - 10^\circ) = \sin 10^\circ
]

Bu durumda,

[
\sin 10^\circ \sin 80^\circ \sin 100^\circ \sin 170^\circ = \sin 10^\circ \sin 80^\circ \sin 100^\circ \sin 10^\circ = (\sin 10^\circ)^2 \cdot \sin 80^\circ \cdot \sin 100^\circ
]

Şimdi (\sin 80^\circ) ve (\sin 100^\circ) ilişkisini kullanalım:

[
\sin 100^\circ = \sin (180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ
]

Yani,

[
(\sin 10^\circ)^2 \cdot (\sin 80^\circ)^2
]

Şimdi (\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}) bağlamında yazılırsa:

[
(\sin 10^\circ)^2 = \frac{1 - \cos 20^\circ}{2}, \quad (\sin 80^\circ)^2 = \frac{1 - \cos 160^\circ}{2}
]

[
\sin 10^\circ \sin 80^\circ \sin 100^\circ \sin 170^\circ = \frac{1 - \cos 20^\circ}{2} \times \frac{1 - \cos 160^\circ}{2} = \frac{(1 - \cos 20^\circ)(1 - \cos 160^\circ)}{4}
]

Burada (\cos 160^\circ) ifadesini açalım:

[
\cos 160^\circ = \cos (180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ
]

Yani:

[
\frac{(1 - \cos 20^\circ)(1 - (-\cos 20^\circ))}{4} = \frac{(1 - \cos 20^\circ)(1 + \cos 20^\circ)}{4} = \frac{1 - \cos^2 20^\circ}{4} = \frac{\sin^2 20^\circ}{4}
]

3. Sonucun (m = \cos 40^\circ) cinsinden ifadesi

[
\sin 20^\circ = 2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ
]

Ancak burada (\sin^2 20^\circ) ifadesini (\cos 40^\circ) cinsinden açalım:

[
\sin^2 20^\circ = 1 - \cos^2 20^\circ = \frac{1 - \cos 40^\circ}{2}
]

Böylece:

[
\frac{\sin^2 20^\circ}{4} = \frac{1 - \cos 40^\circ}{8} = \frac{1 - m}{8}
]

Cevap:

[
\boxed{\frac{1 - m}{8}}
]

Doğru seçenek: C) (\frac{1 - m}{8})

Özet Tablo

İşlem Detay Sonuç
(\sin 170^\circ = \sin 10^\circ) Tamamlayıcı açı kimliği (\sin 10^\circ)
(\sin 100^\circ = \sin 80^\circ) Tamamlayıcı açı kimliği (\sin 80^\circ)
İfade sadeleşmesi ((\sin 10^\circ)^2 \cdot (\sin 80^\circ)^2) -
(\sin^2 x) kimliği (=\frac{1-\cos 2x}{2}) -
Sonuç (m = \cos 40^\circ) cinsinden (\frac{1 - m}{8}) Doğru Cevap

Sık Sorulan Sorular

1. Açılar tam tamamlayıcı olunca trigonometrik fonksiyonlar nasıl sadeleşir?
(\sin (180^\circ - x) = \sin x) ve (\cos (180^\circ - x) = -\cos x) kimlikleriyle sadeleşirler, ifadeler basitleşir.

2. Neden (\sin^2 x) formu, (1 - \cos 2x) ile ilişkilendirilir?
Bu klasik yarım açı formülüdür ve trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesinde çok kullanılır.

3. Cos 40° ifadesi ne anlama geliyor?
Verilen soruda (m = \cos 40^\circ) olarak tanımlanmıştır; burada (m) yerine bu cos değerini koyacağız.

Sonraki Adımlar

Benzer trigonometrik problemlerde bu yöntemlerin kullanımını genişletmek ister misiniz? Ya da bu tür problemlerde önemli olan diğer trigonometrik kimlikleri açıklamamı ister misiniz?

@Abdurrahman2134

3

cos40 = m ise sin10·sin80·sin100·sin170 hangisine eşittir?

Önemli Noktalar

  • sin(180° − x) = sin x ⇒ sin170° = sin10°, sin100° = sin80°
  • sinA·sinB = ½[cos(A − B) − cos(A + B)] ⇒ sin10°·sin80° = ½·cos70° = ½·sin20°
  • sin²θ = (1 − cos2θ)/2 ⇒ sin²20° = (1 − cos40°)/2 = (1 − m)/2

sin10°·sin80°·sin100°·sin170° = \displaystyle\frac{1 - m}{8}

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablo
  3. SSS

Çözüm Adımları

  1. sin170° = sin(180°−10°) = sin10°, sin100° = sin(180°−80°) = sin80°
  2. Ürün:
    \sin10°·\sin80°·\sin100°·\sin170° = (\sin10°·\sin80°)^2
  3. sin10°·sin80° kimliği:
    \sin A·\sin B = \tfrac12[\cos(A-B)-\cos(A+B)] \implies \sin10°·\sin80° = \tfrac12[\cos(-70°)-\cos90°] = \tfrac12\cos70° = \tfrac12\sin20°
  4. Böylece
    (\sin10°·\sin80°)^2 = \Bigl(\tfrac12\sin20°\Bigr)^2 = \tfrac14\sin^2 20°
  5. sin²20° = (1−cos40°)/2 = (1−m)/2 ⇒
    \tfrac14\sin^2 20° = \tfrac14·\tfrac{1-m}{2} = \tfrac{1-m}{8}

Özet Tablo

Adım İfade
1. açıları sadeleştir sin170°=sin10°, sin100°=sin80°
2. kare haline getir (sin10°·sin80°)²
3. çarpım kimliği sin10°·sin80° = ½·sin20°
4. kare al (½·sin20°)² = ¼·sin²20°
5. m ile ilişki sin²20°=(1−m)/2 ⇒ sonuç = (1−m)/8

SSS

  1. sin10°·sin80° neden önce kare haline getirildi?
    • sin170° ve sin100°’ün, sin10° ve sin80°’e eşit olması sayesinde ürünün iki çarpandan karesi şeklinde yazılması hesaplamayı kolaylaştırır.
  2. sin²θ = (1 − cos2θ)/2 kimliği nasıl türetilir?
    • Çift açı formülünden cos2θ = 1 − 2sin²θ elde edilerek düzenlenir.
  3. sinA·sinB çarpımını cos cinsinden ifade etmenin avantajı nedir?
    • Toplam ve fark açıların kosinüs fonksiyonuna dönüştürülmesi, açıların birbirine indirgenmesini sağlar.

Başka trigonometrik çarpım örnekleriyle devam edelim mi?
@Abdurrahman2134