Cos x + sin x = \(\tfrac{4}{3}\) olduğuna göre cos³ x + sin³ x ifadesinin değeri kaçtır?

YKS TYT
1

IMG-20260131-WA0014
IMG-20260131-WA00142048×1536 86.8 KB

2

Trigonometrik İfadede Değer Bulma Sorusu Çözümü

Önemli Noktalar

  • Verilen: \cos x + \sin x = \frac{4}{3}
  • Bulunacak: \cos^3 x + \sin^3 x
  • Kullanılacak özdeşlikler:
    a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)
    ve
    \sin^2 x + \cos^2 x = 1

Verilen ifadeye göre \cos x + \sin x = \frac{4}{3}. Amacımız \cos^3 x + \sin^3 x ifadesinin değerini bulmak.

İçindekiler

  1. Temel Özdeşlik ve Verilen İfadenin İncelenmesi
  2. Çözüm Adımları ve Hesaplamalar
  3. Sonuç ve Doğru Seçenek
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Temel Özdeşlik ve Verilen İfadenin İncelenmesi

Ana formül:

a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)

Bu ifadeyi \cos x = a, \sin x = b için uygularsak:

\cos^3 x + \sin^3 x = (\cos x + \sin x)^3 - 3 \cos x \sin x (\cos x + \sin x)

Verilen \cos x + \sin x = \frac{4}{3} değerini kullanalım.

2. Çözüm Adımları ve Hesaplamalar

  • \cos x + \sin x = \frac{4}{3}

  • \cos^2 x + \sin^2 x = 1 olduğu için:

    (\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + 2 \cos x \sin x + \sin^2 x = 1 + 2 \cos x \sin x

  • Buradan \cos x \sin x bulunur:

    \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + 2 \cos x \sin x \implies \frac{16}{9} = 1 + 2 \cos x \sin x
    2 \cos x \sin x = \frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9} \implies \cos x \sin x = \frac{7}{18}

  • Şimdi genel formüle dönersek:

\cos^3 x + \sin^3 x = \left(\frac{4}{3}\right)^3 - 3 \times \frac{7}{18} \times \frac{4}{3}
  • Hesaplamalar:
\left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27}
3 \times \frac{7}{18} \times \frac{4}{3} = 3 \times \frac{28}{54} = 3 \times \frac{14}{27} = \frac{42}{27}
  • Sonuç:
\cos^3 x + \sin^3 x = \frac{64}{27} - \frac{42}{27} = \frac{22}{27}

3. Sonuç ve Doğru Seçenek

\cos^3 x + \sin^3 x = \frac{22}{27}

Doğru seçenek: A) \frac{22}{27}

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Verilen ifade \cos x + \sin x = \frac{4}{3} -
Toplamın karesi (\cos x + \sin x)^2 = 1 + 2 \cos x \sin x -
Çarpanın bulunması \cos x \sin x = \frac{7}{18} -
Kübün açılımı \cos^3 x + \sin^3 x = (\cos x + \sin x)^3 - 3 \cos x \sin x (\cos x + \sin x) -
Son değer \frac{22}{27} -

Sık Sorulan Sorular

1. \cos^3 x + \sin^3 x ifadesinde neden bu formülü kullandık?
Bu formül, iki sayının küpleri toplamını daha kolay hesaplamak için a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) şeklinde yazılır. Burada a = \cos x, b = \sin x.

2. Peki \cos x ve \sin x değerlerini ayrı ayrı bulmamız gerekmez miydi?
Hayır, bu yöntem doğrudan verilen toplam ve çarpımla işlem yapar, açı değerlerini bulmaya gerek kalmaz.

3. Bu soru trigonometrik özdeşlikler için tipik bir örnek midir?
Evet, özellikle polinom ifadeleri veya küpleri içeren sorularda bu tür özdeşlikler çok işe yarar.

Sonraki Adımlar

Benzer trigonometrik ifadeler için hazır problem seti isterseniz size hazırlayabilirim veya farklı dereceden trigonometrik eşitliklerin çözüm yollarını anlatayım mı?

@Meral_Bektas

3

cos x + sin x = \tfrac{4}{3} olduğuna göre cos³ x + sin³ x ifadesinin değeri kaçtır?

Ana Hatlarıyla

  • cos³ x + sin³ x ifadesi, toplamanın küpü eksi 3·product·toplam formülü ile bulunur:
    \cos^3x+\sin^3x=(\cos x+\sin x)^3-3\cos x\sin x(\cos x+\sin x).
  • (\cos x+\sin x)^2=1+2\cos x\sin x bağıntısından \cos x\sin x=\tfrac{7}{18} bulunur.
  • Sonuç olarak \cos^3x+\sin^3x=\tfrac{22}{27} elde edilir.

Cevap: \displaystyle \frac{22}{27}

İÇİNDEKİLER

  1. Çözüm Özeti
  2. Detaylı Çözüm
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Çözüm Özeti

  • S=\cos x+\sin x=\tfrac{4}{3}
  • S^2=1+2P ile P=\cos x\sin x=\tfrac{7}{18}
  • \cos^3x+\sin^3x=S^3-3PS=\tfrac{22}{27}

Detaylı Çözüm

  1. Toplamı tanımlayalım:
    S=\cos x+\sin x=\frac{4}{3}.
  2. Çarpımı bulmak için karelerini kullanalım:
    S^2=\cos^2x+\sin^2x+2\cos x\sin x=1+2P\quad\Longrightarrow\quad P=\cos x\sin x=\frac{7}{18}.
  3. Küp toplamı formülünü uygulayalım:
    \cos^3x+\sin^3x =(S)^3-3\,P\,S =\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)^3-3\cdot\tfrac{7}{18}\cdot\tfrac{4}{3} =\frac{64}{27}-\frac{14}{9} =\frac{64-42}{27} =\frac{22}{27}.

Karşılaştırma Tablosu

İfade Değer Özellik
\cos^2x+\sin^2x 1 Her x için sabit, birim çember
\cos^3x+\sin^3x \tfrac{22}{27} Toplam ve çarpımdan hesaplanır

Özet Tablosu

Sembol Tanım Değer
S \cos x+\sin x \tfrac{4}{3}
P \cos x\,\sin x \tfrac{7}{18}
\cos^3x+\sin^3x \tfrac{22}{27}

SSS

  1. \cos x + \sin x toplamının maksimum değeri nedir?
    Maksimum değer \sqrt2’dir.
  2. \cos x+\sin x=k verildiğinde çarpımı (\cos x\sin x) nasıl buluruz?
    (\cos x+\sin x)^2=1+2\cos x\sin x formülünden yararlanılır.
  3. Toplam küpü formülü nedir?
    a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b).
  4. Bu yöntem başka hangi trigonometrik ifadelerde uygulanabilir?
    Örneğin \sin x+\tan x veya \cos x-\sin x gibi toplamlar için de benzer adımlar izlenir.

Bu yöntemle \cos x - \sin x toplamından \cos^3x - \sin^3x değerini hesaplayan bir örnek çözmemi ister misiniz?
@Meral_Bektas