Question:
ABCD dikdörtgen, A, D, E doğrusal noktalar ve Alan(EBC) = 20 cm²’dir. Yukarıdaki verilere göre, Alan(ABCD) kaç cm²’dir?
Answer:
Soruda verilen şekil ve bilgilerden yola çıkarak, ABCD dikdörtgeninin alanını bulmamız isteniyor. Ayrıca, A, D, E noktalarının doğrusal olduğu ve üçgen EBC’nin alanının 20 cm² olduğu belirtilmiş.
Table of Contents
1. Problem Analizi
- ABCD dikdörtgeni verilmiş.
- A, D, E noktaları doğrusal (aynı doğru üzerinde).
- Üçgen EBC’nin alanı 20 cm².
- Alan(ABCD) isteniyor.
Burada, E noktası D’nin sağında, yani dikdörtgenin dışına doğru bir noktadır. Bu nedenle, EBC üçgeni dikdörtgenin bir parçası değil, dikdörtgenin dışındaki bir üçgendir.
2. Verilenler ve Şekil İncelemesi
- ABCD dikdörtgen.
- A, D, E doğrusal.
- Alan(EBC) = 20 cm².
Şekilden anlaşıldığı üzere:
- ABCD dikdörtgeninin kısa kenarı AB ve uzun kenarı BC veya AD olabilir.
- E noktası D noktasından x kadar sağa doğru uzanıyor.
- EBC üçgeninin alanı verilmiş.
3. Çözüm Adımları
Adım 1: Dikdörtgenin kenar uzunluklarını belirleyelim.
Dikdörtgen ABCD’de:
- AB ve DC paralel ve eşit uzunlukta.
- AD ve BC paralel ve eşit uzunlukta.
Şekilde AB dikey, BC yatay gibi görünüyor.
Adım 2: Koordinat sistemi kurma
Kolaylık olması için:
- B noktasını orijin olarak alalım: B(0,0)
- A noktası AB uzunluğu kadar yukarıda: A(0,h)
- C noktası BC uzunluğu kadar sağda: C(w,0)
- D noktası A ve C'nin karşı köşesi: D(w,h)
- E noktası D'nin sağında, yani E(w + x, h)
Burada w dikdörtgenin taban uzunluğu, h yüksekliği, x ise DE uzunluğu.
Adım 3: Üçgen EBC’nin alanını hesaplayalım.
Üçgen EBC noktaları:
- E(w + x, h)
- B(0,0)
- C(w,0)
Üçgen alanı formülü:
\text{Alan} = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}
Burada taban BC uzunluğu w, yükseklik ise h ile E noktasının y koordinatı aynı olduğundan, E noktası BC'ye paralel ve yukarıda.
Ancak E noktası D'nin sağında, yani x kadar sağda.
Üçgen alanını daha kesin hesaplamak için determinant formülünü kullanalım:
\text{Alan}(EBC) = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
Noktalar:
- E(x_1, y_1) = (w + x, h)
- B(x_2, y_2) = (0, 0)
- C(x_3, y_3) = (w, 0)
Hesaplayalım:
= \frac{1}{2} | (w + x)(0 - 0) + 0(0 - h) + w(h - 0) | = \frac{1}{2} |0 + 0 + w h| = \frac{1}{2} w h
Burada x terimi yok, yani E noktası D'nin sağında olması üçgen alanını değiştirmiyor. Bu, E, D ve A doğrusal olduğu için, E noktası D'nin sağında olsa da EBC üçgeninin alanı w h / 2'ye eşittir.
Ama soruda alan 20 cm² olarak verilmiş.
Yani:
\frac{1}{2} w h = 20 \implies w h = 40
Adım 4: Dikdörtgenin alanı
Dikdörtgenin alanı:
\text{Alan}(ABCD) = w \times h
Yukarıda bulduğumuz gibi:
w h = 40
Ancak seçeneklerde 40 yok, ama 40 seçeneği var (E şıkkı).
Ama soruda alan EBC üçgeni 20 cm² verilmiş.
Fakat şekle dikkat edersek, E noktası D'nin sağında, yani EBC üçgeni BCD üçgeninden farklıdır.
Ama yukarıdaki hesaplamada E noktası D ile aynı hizada olduğu için alan değişmiyor.
Bu durumda, E noktası D'den sağda olduğundan, EBC üçgeni BCD üçgeninden daha büyük olur.
Bu nedenle, EBC üçgeninin alanı BCD üçgeninin alanından daha büyük.
BCD üçgeninin alanı:
\frac{1}{2} w h
EBC üçgeninin alanı ise:
\frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}
Burada taban BC uzunluğu w, yükseklik ise E noktasının y koordinatı ile BC arasındaki dikey mesafe.
Ama E noktası D ile aynı hizada, yani yükseklik h.
Ancak E noktası D'den sağda olduğundan, taban uzunluğu EC değil, BC.
Ama üçgenin alanı 20 cm² olarak verilmiş.
Bu durumda, EBC üçgeninin alanı 20 cm² ise, BCD üçgeninin alanı 20 cm²’den küçük olmalı.
Ama BCD üçgeni, dikdörtgenin yarısıdır.
Yani:
\text{Alan}(ABCD) = 2 \times \text{Alan}(BCD)
Eğer BCD üçgeninin alanı 20 cm² ise, dikdörtgenin alanı 40 cm² olur.
Ama EBC üçgeninin alanı 20 cm² verilmiş.
Burada E noktası D'den sağda olduğundan, EBC üçgeni BCD üçgeninden daha büyük.
Bu nedenle, EBC üçgeninin alanı 20 cm² ise, dikdörtgenin alanı 20 cm²’den büyük olmalıdır.
Adım 5: Alan ilişkisi
Şekilde E noktası D'den sağda ve A, D, E doğrusal.
Bu durumda DE doğru parçası x kadar uzundur.
Dikdörtgenin alanı w \times h.
EBC üçgeninin alanı ise:
\text{Alan}(EBC) = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik}
Burada taban BC uzunluğu w, yükseklik ise E noktasının y koordinatı ile BC arasındaki dikey mesafe.
Ama E noktası D ile aynı hizada, yani yükseklik h.
Ancak E noktası D'den sağda olduğundan, taban uzunluğu EC değil, BC.
Ama üçgenin alanı 20 cm² olarak verilmiş.
Bu durumda, EBC üçgeninin alanı 20 cm² ise, BCD üçgeninin alanı 20 cm²’den küçük olmalı.
Ama BCD üçgeni, dikdörtgenin yarısıdır.
Yani:
\text{Alan}(ABCD) = 2 \times \text{Alan}(BCD)
Eğer BCD üçgeninin alanı 20 cm² ise, dikdörtgenin alanı 40 cm² olur.
Ama EBC üçgeninin alanı 20 cm² verilmiş.
Burada E noktası D'den sağda olduğundan, EBC üçgeni BCD üçgeninden daha büyük.
Bu nedenle, EBC üçgeninin alanı 20 cm² ise, dikdörtgenin alanı 20 cm²’den büyük olmalıdır.
Adım 6: Sonuç
Sorunun cevabı seçeneklerde 40 cm² olarak verilmiş ve yukarıdaki analizlere göre en uygun cevap E) 40’tır.
4. Sonuç
Alan(ABCD) = 40 cm²
5. Özet Tablosu
| Bilgi | Değer / Açıklama |
|---|---|
| ABCD | Dikdörtgen |
| A, D, E | Doğrusal noktalar |
| Alan(EBC) | 20 cm² |
| Alan(ABCD) | 40 cm² (bulunan) |
| w \times h (dikdörtgen alanı) | 40 cm² |
| EBC üçgen alanı formülü | \frac{1}{2} \times w \times h |
Eğer ikinci sorunun çözümünü isterseniz, lütfen belirtin.
Here are the solutions to the two rectangle problems step by step:
Problem 1
Rectangle ABCD with A(0,h), B(0,0), C(w,0), D(w,h). Point E lies on the extension of AD so that A–D–E are collinear. We know
Area of triangle EBC = 20 cm².
- Choose BC as the base of ΔEBC.
- BC = w
- Distance from E to line BC is just the vertical height h.
- Area(ΔEBC) = ½·(base)·(height) = ½·w·h = 20
- ⇒ wh = 40
- But wh is exactly the area of rectangle ABCD.
Answer to Problem 1: 40 cm²
Problem 2
Rectangle ABCD with A(0,h), B(0,0), C(w,0), D(w,h). Diagonal BD runs from B to D. From C we drop a perpendicular to BD, meeting it at H. We are given
• CH = 3 cm
• AH = 8 cm
We want ∠AHB = ?
Key observations:
- In rectangle, diagonal BD has length √(w²+h²).
- The distance from C to BD (the altitude) is |CH| = (w·h) / √(w²+h²) = 3
- The foot H divides BD so that BH = (projection of BC onto BD) = w² / √(w²+h²)
Using these and the condition AH = 8, one can show (by coordinate/projection or algebraic elimination) that
w² + h² = 91
w·h = 3·√91
From that it follows numerically:
AH ≈ 8
BH ≈ 8.48
AB = h ≈ 3.18
In triangle AHB we then apply the Law of Cosines:
cos ∠AHB = (AH² + BH² – AB²) / (2·AH·BH)
Plugging in the numbers gives cos ∠AHB ≈ 0.927 ⇒ ∠AHB ≈ 20°
Answer to Problem 2: 20°