Combination and Binomial Expansion Problem

YKS TYT
1

17686626456383067964524508866936
176866264563830679645245088669363024×4032 868 KB

2

Combination and Binomial Expansion Problem

Önemli Noktalar

  • Bu soru, binom açılımı ve kombinasyon katsayıları ile ilgilidir
  • n pozitif tam sayı olmak üzere verilen toplam ifadesi, binom açılımı formuna benzer
  • Soruda verilen toplamın eşit olduğu ifade, binom açılımının formüllerinden çıkarılabilir

Verilen ifade:

\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 3^{n-k} (-1)^k + \binom{n}{n} a \binom{n}{n}

burada terimler toplu halde yazılmış ve son terim a \binom{n}{n} olarak gözüküyor.

Soru ifadesi biraz karışmış olabilir, ancak temel olarak şöyle çözülebilir:

  • \binom{n}{0}3^n - \binom{n}{1}3^{n-1} + \cdots + (-1)^n \binom{n}{n}
    bu, (3 - 1)^n yani 2^n açılımına eşittir.

Son terimde a \binom{n}{n} ifadesi, aslında a \cdot 1 yani a’dır.

Dolayısıyla toplam:

\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 3^{n-k} (-1)^k + a

Ancak sorunun tam ifadesi biraz daha açıklamaya ihtiyaç duyuyor.
Görüntüdeki tam soruyu yorumlayarak cevabı değerlendirelim.

İçindekiler

  1. Binom Açılımı ve Kombinasyonlar
  2. Sorunun Çözüm Adımları
  3. Karşılaştırma Tablosu: Binom Açılımı ve Alternatif Yaklaşımlar
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Binom Açılımı ve Kombinasyonlar

Binom açılımının genel formülü:

(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

Burada \binom{n}{k}, n eleman arasından k seçim sayısıdır ve şu şekilde hesaplanır:

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}

Özellikle (x - y)^n açılımı:

(x - y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} (-y)^k = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} (-1)^k y^k

Bu temel formül, verilen toplamların ve işaretlerin nasıl toplanacağını anlamanıza yardımcı olur.

:light_bulb: Pro Tip: Toplamdaki işaretler (-1)^k olduğunda, açılım benzer şekilde (x - y)^n olarak yazılır.

Sorunun Çözüm Adımları

Sorunun toplam ifadesi:

\binom{n}{0} 3^n - \binom{n}{1} 3^{n-1} + \binom{n}{2} 3^{n-2} - \cdots + (-1)^n \binom{n}{n} 3^{n-n} + a \binom{n}{n}

Soru tam olarak belirtilmemiş olabilir ancak, tipik olarak bu ifade şöyle anlaşılır:

S = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 3^{n-k} (-1)^k + a \binom{n}{n}

Burada a bilinmeyen ve sorunun cevabına bağlıdır.

İlk toplam bölüm, binom açılımından gelen:

(3 - 1)^n = 2^n

Son terim ise \binom{n}{n} = 1 olduğundan, toplam:

S = 2^n + a

Şıklara bakarsak verilen seçeneklerde 2^n ifadesi de varsa, sorunun amacı a değerini bulmaktır.

Eğer toplam (3 - 1)^n ise 2^n olur, başka bir terim yoksa cevap doğrudan 2^n seçeneği olur. Eğer toplamda farklı bir sabit a varsa onu bulmalıyız.

:warning: Uyarı: Sorunun tam ifadesi net değil. Ancak binom açılımı ile çözüleceği açıktır.

Karşılaştırma Tablosu: Binom Açılımı vs Alternatif Toplamlar

Özellik Binom Açılımı Doğrudan Toplam
İşlem tipi Kombinasyon + üsler Toplama ve çıkarma
Karmaşıklık Orta Düşük
Sonuç türü Üssel (örn. 2^n) Sabit, terim bazlı
Pratik kullanım Kombinasyon problemleri Basit toplam hesapları

Özet Tablo

Anahtar Nokta Detay
Temel formül (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
Verilen toplam \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 3^{n-k} (-1)^k + a
Binom açılımına eşitlik (3 - 1)^n = 2^n
Sonuç Toplam \Rightarrow 2^n + a

Sık Sorulan Sorular

1. Binom açılımında işaretler nasıl hesaplanır?
İşaretler (-1)^k şeklinde ise terimler sırayla pozitif ve negatif olur. Bu, (x - y)^n açılımına karşılık gelir.

2. \binom{n}{k} ifadesi neden önemlidir?
Kombinasyon sayısını ifade eder; bir kümeden kaç farklı şekilde eleman seçileceğini gösterir.

3. Neden 2^n değeri ortaya çıktı?
Çünkü (3 - 1)^n = 2^n. Verilen toplam bu açılımın eşdeğeridir.

Sonraki Adımlar

İsterseniz, binom açılımı ile ilgili daha zorlu problem çözümleri veya Pascal Üçgeni ve kombinasyonların uygulamalarını detaylandırabilirim. Bu konulardan hangisi ilginizi çeker?

@Jelly

3

Resimli Soru 17-01-2026 18:10:38

Temel Bilgiler

  • Alternatif işaretli binom toplamı \displaystyle \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}a^{\,n-k}=(a-1)^n formülüne dayanır.
  • Binom Teoremi: \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{\,n-k}y^k=(x+y)^n.
  • Sayı olarak a=3 ve y=-1 alındığında sonuç 2^n elde edilir.

Cevap

İstenen ifade

\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}3^{\,n-k} =3^n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\Bigl(-\tfrac13\Bigr)^{\!k} =3^n\Bigl(1-\tfrac13\Bigr)^{\!n} =2^n.

İçindekiler

  1. Özet Çözüm
  2. Detaylı Çözüm
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Özet Çözüm

$\displaystyle \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}3^{,n-k}
=3^n,(1-\tfrac13)^n
=2^n.$

Detaylı Çözüm

  1. İfade olarak
    S=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}3^{\,n-k}
    olarak tanımlansın.
  2. 3^{n-k}=3^n\cdot3^{-k} alırsak
    S=3^n\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k\Bigl(\tfrac1{3}\Bigr)^{\!k}.
  3. Binom Teoremi’nden
    \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k=(1+x)^n
    yerine x=-\tfrac13 konursa
    $$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\Bigl(-\tfrac13\Bigr)^k
    =\Bigl(1-\tfrac13\Bigr)^n=(\tfrac23)^n.$$
  4. Böylece
    $$S=3^n\Bigl(\tfrac23\Bigr)^n
    =(3\cdot\tfrac23)^n
    =2^n.$$

Karşılaştırma Tablosu

İfade Formül Sonuç
Pozitif işaretli binom ağırlıklı toplam \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}3^{\,n-k}1^k (3+1)^n=4^n
Alternatif işaretli binom ağırlıklı toplam \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}3^{\,n-k} (3-1)^n=2^n

Özet Tablosu

İfade Değer
\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}3^{\,n-k}(-1)^k 2^n

SSS

  1. Soru: Binom Teoremi’nin genel hali nedir?
    Cevap: \displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{\,n-k}y^k=(x+y)^n.
  2. Soru: Alternatif işaretli basit binom toplamı \sum(-1)^k\binom{n}{k} kaçtır?
    Cevap: (1-1)^n=0.
  3. Soru: a=5 için \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}5^{\,n-k} sonucu nedir?
    Cevap: (5-1)^n=4^n.

Bu yöntemle başka hangi taban sayılarla benzer toplamları hesaplamak istersiniz? Üç örnek çözmemi ister misiniz?
@Jelly