Sayfadaki geometri sorularının mantığı, kuralları ve adım adım ayrıntılı çözümleri aşağıda verilmiştir:
37. Soru: Dik Yamukta Açı ve Benzerlik İlişkisi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki açısı eşit olan dik üçgenler benzerdir (Açı-Açı Benzerliği):
\triangle DCE \sim \triangle ABE \implies \frac{|EC|}{|DC|} = \frac{|BE|}{|AB|}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eşit Açıların ve Benzerliğin Tespiti
Şekilde \angle CDE ile \angle EAB açıları aynı sembolle (noktalı yay) gösterildiğinden bu açılar birbirine eşittir:
\angle CDE = \angle EAB = \alpha
Her iki üçgen de birer dik açıya sahiptir (\angle C = 90^\circ ve \angle B = 90^\circ). Dolayısıyla \triangle DCE \sim \triangle ABE olur.
Adım 2 — Kenar Orantısının Kurulması
\alpha açısının karşı ve komşu dik kenar oranları (tanjant değerleri) eşit olmalıdır:
\frac{|EC|}{|DC|} = \frac{|BE|}{|AB|}
{5 \over 6} = {10 \over x}
Adım 3 — Bilinmeyenin Hesaplanması
İçler-dışlar çarpımı yapılarak x uzunluğu bulunur:
5 \cdot x = 6 \cdot 10
5x = 60 \implies x = 12\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
38. Soru: Dik Yamukta Öklid Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımına eşittir (Öklid Bağıntısı):
h^2 = p \cdot k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — C Köşesinden Dikme İndirilmesi
C köşesinden [AB] tabanına bir dikme indirelim ve dikme ayağına H diyelim ([CH] \perp [AB]).
- Oluşan AHCD dörtgeni bir dikdörtgendir:
|AH| = |DC| = 4\text{ cm}
|CH| = |AD| = 2\text{ cm}
Adım 2 — \triangle ABC Dik Üçgeninde Öklid Bağıntısının Uygulanması
[AC] \perp [BC] olduğundan \triangle ABC bir dik üçgendir ve [CH] bu üçgenin hipotenüse inen yüksekliğidir:
|CH|^2 = |AH| \cdot |HB|
2^2 = 4 \cdot |HB|
4 = 4 \cdot |HB| \implies |HB| = 1\text{ cm}
Adım 3 — |AB| = x Uzunluğunun Hesaplanması
x = |AH| + |HB| = 4 + 1 = 5\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
39. Soru: İkizkenar Yamuğun Alanı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\text{Alan} = \frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot h
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Yükseklik Parçalarının Hesaplanması
D ve C köşelerinden [AB] tabanına dikmeler indirildiğinde, ikizkenar yamuk simetrisinden dolayı kenarlarda kalan eşit parçaların uzunluğu:
p = \frac{|AB| - |DC|}{2} = \frac{12 - 4}{2} = 4\text{ cm}
Adım 2 — Yüksekliğin (h) Bulunması
Oluşan dik üçgende hipotenüs |AD| = 5\text{ cm} ve taban parçası 4\text{ cm}'dir. Pisagor bağıntısından (3-4-5 özel üçgeni):
h^2 + 4^2 = 5^2 \implies h^2 + 16 = 25 \implies h = 3\text{ cm}
Adım 3 — Alan Hesabı
\text{Alan}(ABCD) = \frac{12 + 4}{2} \cdot 3 = \frac{16}{2} \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\text{ cm}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 24
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
40. Soru: Yamukta Orta Taban ve Alan-Benzerlik İlişkisi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki benzer üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının (k) karesine eşittir:
\frac{\text{Alan}_1}{\text{Alan}_2} = k^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \triangle DAB Üçgeninde Benzerlik ve Alan Hesabı
[EF] orta taban olduğundan E noktası [AD]'nin, K noktası ise [BD] köşegeninin orta noktasıdır.
Dolayısıyla [EK], \triangle DAB üçgeninde orta tabandır ve benzerlik oranı k = \frac{1}{2}'dir:
\frac{\text{Alan}(\triangle EDK)}{\text{Alan}(\triangle DAB)} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
\text{Alan}(\triangle DAB) = 4 \cdot \text{Alan}(\triangle EDK) = 4 \cdot 5 = 20\text{ cm}^2
Adım 2 — \triangle BDC Üçgeninde Benzerlik ve Alan Hesabı
Aynı şekilde [KF], \triangle BDC üçgeninde orta tabandır (k = \frac{1}{2}):
\frac{\text{Alan}(\triangle BKF)}{\text{Alan}(\triangle BDC)} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
Buradan yamuk parçasının alanı:
\text{Alan}(KFCD) = \text{Alan}(\triangle BDC) - \text{Alan}(\triangle BKF) = \frac{3}{4} \cdot \text{Alan}(\triangle BDC)
9 = \frac{3}{4} \cdot \text{Alan}(\triangle BDC) \implies \text{Alan}(\triangle BDC) = \frac{9 \cdot 4}{3} = 12\text{ cm}^2
Adım 3 — Toplam Yamuk Alanının Hesaplanması
Yamuğun toplam alanı bu iki üçgenin alanları toplamıdır:
\text{Alan}(ABCD) = \text{Alan}(\triangle DAB) + \text{Alan}(\triangle BDC) = 20 + 12 = 32\text{ cm}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 32
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Orta Taban: Bir üçgende veya yamukta yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçası tabana paraleldir ve uzunluğu tabanın yarısı kadardır.
- Benzerlik-Alan İlişkisi: Benzerlik oranı 1:2 olan üçgenlerde alan oranı 1:4 olur; geriye kalan dörtgen parça ise daima 3 birimlik alan kaplar (1 - 3 kuralı).
Bu soru tiplerinden özellikle Öklid bağıntısı veya orta taban alan parçalama ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?
