Çokgen Sembolü ve Faktöriyel Sorusu Çözümü

YKS TYT
1

Matematik
KenarIi bir çakgen sembolünün değeri, n + 1 den başe
Tiarak 2n sayısına kadar tüm tam sayıların çarpimi ek eklin-
de tanımlanıyor.
Örneğin:
5.6.7.8 dir.
Buna göre c veN birer doğal say olmak üzere,
2°N
eşitliğini sağlayan kaç farklı c doğalsàyısı vardır?
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
6. m,n vet
• m.n.
•n t 3r
m
+
ifadele
olduğ
sayıy
A) n
n+1
3.8.91o.ll, i2

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 133 KB

2

Çokgen Sembolü ve Faktöriyel Sorusu Çözümü

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]
n kenarlı bir çokgenin değeri: (n+1) \cdot (n+2) \cdot \dots \cdot 2n şeklinde hesaplanır. Bu ifade aynı zamanda \frac{(2n)!}{n!} faktöriyel oranına eşittir.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Çokgenin Değerini Belirleme
Sorudaki çokgen bir altıgendir, yani n = 6 dır. Tanıma göre n+1’den başlayıp 2n değerine kadar olan sayıları çarpmalıyız:
Başlangıç: 6 + 1 = 7
Bitiş: 2 \times 6 = 12
Çarpım: 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12

Adım 2 — İfadeyi Çarpanlarına Ayırma
Eşitlikte bizden 2^c \cdot N formatı isteniyor. Bu, çarpımın içindeki toplam 2 çarpanı sayısını bulmamız gerektiğini gösterir. Sayıları tek tek inceleyelim:

  • 7 \rightarrow 2 çarpanı yok.
  • 8 = 2^3 \rightarrow 3 tane 2 çarpanı var.
  • 9 \rightarrow 2 çarpanı yok.
  • 10 = 2 \cdot 5 \rightarrow 1 tane 2 çarpanı var.
  • 11 \rightarrow 2 çarpanı yok.
  • 12 = 2^2 \cdot 3 \rightarrow 2 tane 2 çarpanı var.

Adım 3 — Toplam 2 Çarpanı Sayısını (Maksimum c) Bulma
Çarpımdaki tüm 2 çarpanlarını toplayalım:
3 \text{ (8'den)} + 1 \text{ (10'dan)} + 2 \text{ (12'den)} = 6 tane 2 çarpanı vardır.
Yani ifade: 2^6 \cdot (7 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 3) şeklindedir. Burada N tek bir doğal sayıdır.

Adım 4 — Farklı c Değerlerini Belirleme
Eşitlik 2^c \cdot N şeklindedir ve N bir doğal sayıdır. Eğer ifadenin içinde toplam 6 tane 2 çarpanı varsa, biz bu çarpanların bir kısmını 2^c kısmında tutup, kalanını N sayısının içine dahil edebiliriz.
c bir doğal sayı olduğuna göre:

  • c = 0 olabilir (2^0 \cdot N)
  • c = 1 olabilir (2^1 \cdot N)
  • c = 2 olabilir
  • c = 3 olabilir
  • c = 4 olabilir
  • c = 5 olabilir
  • c = 6 olabilir (Maksimum değer)

Bu durumda c değerleri \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesinden herhangi biri olabilir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] Toplam 7 farklı c doğal sayısı vardır. Doğru seçenek B şıkkıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Faktöriyel Kavramı

  • [Tanım:] 1’den n’e kadar olan ardışık tam sayıların çarpımıdır.
  • [Bu problemde:] Belirli bir aralıktaki çarpımın içindeki asal çarpan (2) adedi sorgulanmıştır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Sıfırı Unutmak

  • [Yanlış:] c değerlerini 1’den başlatıp 6 tane demek.
  • [Doğru:] c bir doğal sayı dediği için 0 değerini de alabilir.
  • [Neden:] 2^0 = 1 bir doğal sayıdır ve eşitliği bozmaz.

Bu çözümde altıgenin içindeki 2 çarpanlarını nasıl ayıklayacağımızı gördük. Benzer mantıkla bir sekizgen verilseydi kaç farklı c değeri çıkacağını hesaplamamı ister misin?