Çok gerçek sayılar kümesinde tanımlı y = f(x) fonksiyonunun türevi f′(x)=3x²+4x olarak verilmiş, f fonksiyonunun x = a noktasındaki teğeti aynı noktada 4a y − 8x − 21 = 0 doğrusu ile dik kesişmektedir. Buna göre f(−2) kaçtır?

YKS TYT
1

IMG_4388
IMG_4388720×1559 38.3 KB

2

Sorunun Çözümü: T(-2) Değeri Nedir?

Önemli Noktalar

  • f’(x) = 3x² + 4x türev fonksiyonu olarak verilmiştir
  • f fonksiyonunun x=a noktasındaki teğet doğrusu, 4ay - 8x - 21 = 0 doğrusuyla diktir
  • Bu diklik koşulundan eğim bilgisi elde edilip a bulunur
  • a değeri kullanılarak f(a) yani f(-2) bulunur

f(x) fonksiyonunun türevi f’(x) = 3x² + 4x olarak verilmiştir. Buradaki amaç f fonksiyonunun x=a noktasındaki değerini bulmaktır. Ancak a bilinmemektedir. a, teğetin verildiği noktadır. f’(a) eğim değeridir ve teğetin eğimiyle eşittir. Verilen teğet doğrusu 4ay - 8x - 21 = 0 doğrusudur. Bu doğrunun eğimini bularak f’(a) ile eşitleriz. Böylece a bulunur. Ardından f(x)'in integralinden f(x) ifadesi elde edilip sabit terim a için belirlenerek f(-2) hesaplanır.

İçindekiler

  1. Teğetin Eğimi ve a Değerinin Bulunması
  2. f(x) Fonksiyonunun İntegrali ve f(-2) Hesaplanması
  3. Çözüm Özeti
  4. Sık Sorulan Sorular

1. Teğetin Eğimi ve a Değerinin Bulunması

Verilen teğet doğrusu:

4a y - 8x - 21 = 0

Bunu y’ye göre çözelim:

4a y = 8x + 21 \implies y = \frac{8}{4a} x + \frac{21}{4a} = \frac{2}{a}x + \frac{21}{4a}

Doğrunun eğimi (m):

m = \frac{2}{a}

f’(a) = eğim = m olduğuna göre;

f'(a) = 3a^2 + 4a = \frac{2}{a}

Bu denklemi çözelim:

3a^2 + 4a = \frac{2}{a} \implies 3a^3 + 4a^2 = 2
3a^3 + 4a^2 - 2 = 0

Bu kübik denklemi kökleri deneme/yaklaşık yöntemle veya bilinçli deneme ile bulalım:
- a = 1 için: 3(1)^3 + 4(1)^2 - 2 = 3 + 4 - 2 = 5 \neq 0
- a = -1 için: 3(-1)^3 +4(-1)^2 - 2 = -3 + 4 - 2 = -1 \neq 0
- a = 0.5 için:

3(0.125) + 4(0.25) - 2 = 0.375 + 1 - 2 = -0.625 \neq 0

- a = 1/3 için:

3(\frac{1}{27}) + 4(\frac{1}{9}) - 2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} - 2 = \frac{5}{9} - 2 = -\frac{13}{9} \neq 0

Denklemin tam kökünü bulmak için içeriği çarpanlara ayıralım veya başka yöntem öneririz. Ancak şunu gözlemleyelim; sorudaki seçeneklerde a = -2 geçiyor. a yerine -2 koyalım:

3(-2)^3 + 4(-2)^2 - 2 = 3(-8) + 4(4) - 2 = -24 + 16 - 2 = -10 \neq 0

Çünkü a=x noktası bilinmeyendir, a’nın -2 olması gerekmez. Başka yol deneyelim. Burada dik doğrularda eğimi bulduğumuzda iki eğimin çarpımı -1 olmalıdır (diklemede eğim çarpımı -1). Bu ön bilgi ile işlem hızlanabilir.

Teğetin kendi eğimi:

m_1 = f'(a) = 3a^2 + 4a

Verilen doğrunun eğimi:

m_2 = \frac{2}{a}

Dik oldukları için:

m_1 \times m_2 = -1
(3a^2 + 4a) \times \frac{2}{a} = -1
2(3a^2 + 4a)/a = -1
2(3a + 4) = -1
6a + 8 = -1
6a = -9 \implies a = -\frac{3}{2}

Burada a = -1.5 bulunur. Bu noktada fonksiyonun değeri isteniyor yani f(-2) değil, f(a) isteniyor. Ancak soruda özel olarak “f(-2) değerini bulunuz” denmiş. ----- Burada soruda x=a teğet noktasıdır ve a sayısı yukarıda bulunmuştur. Fakat soruyu tekrar dikkatlice okuyalım:

“Soruda f fonksiyonunun x=a noktasındaki teğeti, verilen doğru ile diktir. Buna göre f(-2) değeri nedir?”

Yani bulunan a değeri ile değil, f(-2) değerini arıyoruz. a ile teğet noktasını bulduk, şimdi f(x) fonksiyonunu bulup f(-2)'yi hesaplayacağız.

2. f(x) Fonksiyonunun İntegrali ve f(-2) Hesaplanması

Türev:

f'(x) = 3x^2 + 4x

f(x) ifadesi integral alınarak bulunur:

f(x) = \int (3x^2 + 4x) dx = x^3 + 2x^2 + C

Burada C sabitini bulmak için teğetin geçtiği noktayı ve fonksiyonun o noktadaki değerini kullanalım.

Teğet noktası: x = a = -\frac{3}{2}

Teğet doğrusu denklemi tekrar:

4a y - 8 x - 21 = 0

a = -\frac{3}{2} olduğunu hatırlayalım.

Doğruya yerine koyarak y değeri (y=f(a)) bulunur:

4 \times \left(-\frac{3}{2}\right) y - 8 \times \left(-\frac{3}{2}\right) - 21 = 0
-6 y + 12 - 21 = 0
-6 y - 9 = 0 \Rightarrow -6 y = 9 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}

Yani:

f(a) = f\left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{2}

f(x) = x^3 + 2x^2 + C denkleminde x = -\frac{3}{2} için y = -\frac{3}{2} olduğuna göre:

\left(-\frac{3}{2}\right)^3 + 2 \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + C = -\frac{3}{2}
-\frac{27}{8} + 2 \times \frac{9}{4} + C = -\frac{3}{2}
-\frac{27}{8} + \frac{18}{4} + C = -\frac{3}{2}
-\frac{27}{8} + \frac{36}{8} + C = -\frac{3}{2}
\frac{9}{8} + C = -\frac{3}{2}
C = -\frac{3}{2} - \frac{9}{8} = -\frac{12}{8} - \frac{9}{8} = -\frac{21}{8}

Bu durumda:

f(x) = x^3 + 2 x^2 - \frac{21}{8}

Şimdi f(-2) değerini hesaplayalım:

(-2)^3 + 2 \times (-2)^2 - \frac{21}{8} = -8 + 2 \times 4 - \frac{21}{8} = -8 + 8 - \frac{21}{8} = 0 - \frac{21}{8} = -\frac{21}{8}

3. Çözüm Özeti

Adım İşlem Sonuç
Teğetin eğim denklemi (3a^2 + 4a) \times \frac{2}{a} = -1 a = -\frac{3}{2}
f(x) fonksiyonunun bulunuşu \int (3x^2 + 4x) dx = x^3 + 2x^2 + C -
Sabit C’nin bulunması f(a) = y doğrusu üzerinden C = -\frac{21}{8}
f(-2) hesaplanması -8 + 8 - \frac{21}{8} -\frac{21}{8}

Sonuç olarak sorunun cevabı C) -\frac{21}{8} şıkkıdır.

Sık Sorulan Sorular

1. Neden teğetin eğimini fonksiyonun türevine eşitledik?
Teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türev değerine eşittir çünkü türev, fonksiyonun eğimini belirtir.

2. Dik doğruların eğimlerinin çarpımı neden -1?
Dik açıyı oluşturan iki doğrunun eğim çarpımı her zaman -1’dir, bu analitik geometrinin temel kuralıdır.

3. Sabit terimi nasıl bulduk?
Teğetin geçtiği nokta (a, f(a)) fonksiyon denkleminde yerine konarak sabit terim C hesaplandı.

4. f(-2) niye soruldu?
Fonksiyonda a farklı bir nokta bulunmuştur ama soru özel olarak f(-2) değerini istemiştir, bu yüzden genel formülü bulup bu değerde fonksiyonun karşılığını hesapladık.

Sonraki Adımlar

Başka bir fonksiyon teğetiyle ilgili problem çözmemi ister misiniz? Yoksa türev ve integral kavramlarının burada nasıl kullanıldığı üzerine örnekler vermemi tercih eder misiniz?

@djszjsldkskckskdjen

3

Çok gerçek sayılar kümesinde tanımlı y = f(x) fonksiyonunun türevi f′(x)=3x²+4x olarak verilmiş, f fonksiyonunun x = a noktasındaki teğeti aynı noktada 4a y − 8x − 21 = 0 doğrusu ile dik kesişmektedir. Buna göre f(−2) kaçtır?

• f′(x)=3x²+4x ve diklik koşulu slope₁·slope₂=−1
• f(x)=∫(3x²+4x)dx=x³+2x²+C formunda
• a=−3/2 ve entegrasyon sabiti C=−21/8 bulunur

f′(x)=3x²+4x ve diklik koşuluna göre a=−3/2 olduğundan, f(x)=x³+2x²−21/8 bulunur ve f(−2)=−21/8.

İçindekiler

  1. Çözüm
  2. Özet Tablo
  3. SSS

Çözüm

  1. Diklik Koşulu
    Verilen doğru:

    4a\,y - 8x - 21 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{8}{4a}x + \frac{21}{4a} = \frac{2}{a}x + \frac{21}{4a}.

    Slope(doğru) = m_1 = \frac{2}{a}. Teğet eğimi ise

    m_t = f'(a) = 3a^2 + 4a.

    Diklik şartı:

    m_1 \cdot m_t = -1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{a}(3a^2+4a) = -1 \quad\Longrightarrow\quad 6a + 8 = -1 \quad\Longrightarrow\quad a = -\tfrac{3}{2}.

  2. f(x) Fonksiyonunu Bulma

    f'(x) = 3x^2 + 4x \quad\Longrightarrow\quad f(x) = \int(3x^2+4x)\,dx = x^3 + 2x^2 + C.

  3. C Sabitini Belirleme
    Nokta P\bigl(a,\,f(a)\bigr) doğruda da yer almalı:

    x = -\tfrac{3}{2},\quad y = f\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) = \Bigl(-\tfrac{3}{2}\Bigr)^3 + 2\Bigl(-\tfrac{3}{2}\Bigr)^2 + C = -\tfrac{27}{8} + \tfrac{18}{4} + C = \tfrac{9}{8} + C.

    Verilen doğru denklemine yerleştirince:

    4a\,y - 8x - 21 = 0 \;\Longrightarrow\; 4\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)\bigl(\tfrac{9}{8}+C\bigr) -8\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) -21 = 0

    Düzenleyince C = -\tfrac{21}{8}.
    Böylece

    f(x) = x^3 + 2x^2 - \tfrac{21}{8}, \quad f(-2) = -2^3 + 2\cdot(-2)^2 - \tfrac{21}{8} = -8 + 8 - \tfrac{21}{8} = -\tfrac{21}{8}.

Özet Tablo

Adım Değer
a -\tfrac{3}{2}
f(x) formu x^3 + 2x^2 + C
C sabiti -\tfrac{21}{8}
Sonuç f(-2) -\tfrac{21}{8}

SSS

  1. S: Diklik koşulu nedir?
    C: İki doğrunun eğimleri m_1\cdot m_2=-1 ise doğrular birbirine diktir.
  2. S: Teğet denklemi nasıl yazılır?
    C: Nokta eğimli form: y - f(a) = f'(a)\,(x - a).
  3. S: İntegrasyon sabiti $C$’yi nasıl bulduk?
    C: Teğet noktasını verilen doğrunun denklemine yerleştirip denklemi sağlıyoruz.

Konu pekiştirmesi için iki ek pratik soru ister misiniz?
@djszjsldkskckskdjen