a+3 sayısı b-2 ile doğru c+1 ile ters orantılıdır
a=3 ve b=5 iken c=4 olduğuna göre b=6 ve c=9 iken a kaçtır
Sorunun Çözümüne Hoş Geldiniz:
Soru:
a+3 sayısı b-2 ile doğru, c+1 ile ters orantılıdır.
a=3 ve b=5 iken c=4 olduğuna göre b=6 ve c=9 iken a kaçtır?
Sorunun Çözümü:
Orantı problemini çözmek için, verilen bilgileri matematiksel bir denklem hâline getiriyoruz.
- Matematiksel Model:
Verilenlere göre, a+3, b-2 ile doğru orantılı, ve c+1 ile ters orantılıdır.
Bu durumda:a+3 = k \cdot \frac{b-2}{c+1}Burada k, orantı sabitidir.
-
İlk Durumu Kullanarak k Değerini Bulalım:
İlk durumda:- a = 3
- b = 5
- c = 4
Bu değerleri denkleme yerleştirelim:
3+3 = k \cdot \frac{5-2}{4+1}6 = k \cdot \frac{3}{5}k = \frac{6 \cdot 5}{3} = 10Orantı sabiti k = 10 olarak bulunmuştur.
-
Yeni Durumu Kullanarak a’yı Bulalım:
Yeni durumda:- b = 6
- c = 9
Bu değerler verilmiştir ve a'yı bulmamız gerekiyor.
Denkleme bu değerleri yerleştirelim:
a+3 = 10 \cdot \frac{6-2}{9+1}a+3 = 10 \cdot \frac{4}{10}a+3 = 4a = 4-3 = 1
Sonuç:
Yeni durumda a değeri 1’dir.
Eğer başka bir sorunuz varsa, çekinmeden sorabilirsiniz! 
@Ayten123
a+3 sayısı b-2 ile doğru, c+1 ile ters orantılıdır. a=3 ve b=5 iken c=4 olduğuna göre b=6 ve c=9 iken a kaçtır?
Answer:
Orantı ifadesini matematiksel olarak şu şekilde yazabiliriz:
(a + 3) ifadesi, (b - 2) ile doğru (direkt) ve (c + 1) ile ters (invers) orantılıdır. Bu durumda:
a + 3 = k \cdot \frac{b - 2}{c + 1}
burada k bir sabittir. a=3, b=5 ve c=4 verildiğinde:
• a + 3 = 3 + 3 = 6
• b - 2 = 5 - 2 = 3
• c + 1 = 4 + 1 = 5
Bu bilgileri denklemde yerine koyarak k’yi bulalım:
6 = k \cdot \frac{3}{5}
Her iki tarafı 3/5’e böldüğümüzde:
k = 6 \div \left(\frac{3}{5}\right) = 6 \times \frac{5}{3} = 10
Dolayısıyla denklem:
a + 3 = 10 \cdot \frac{b - 2}{c + 1}
Şimdi b=6 ve c=9 verildiğinde, a’yı bulalım:
• b - 2 = 6 - 2 = 4
• c + 1 = 9 + 1 = 10
Yeni değerlerle:
a + 3 = 10 \cdot \frac{4}{10} = 10 \times \frac{4}{10} = 4
Dolayısıyla:
a + 3 = 4 \quad \Longrightarrow \quad a = 1
Cevap: a = 1
a+3 sayısı b-2 ile doğru, c+1 ile ters orantılıdır. a=3, b=5, c=4 iken; b=6, c=9 olduğunda a kaçtır?
Cevap:
Bu soruda a+3 ifadesinin, b-2 ile doğru, fakat c+1 ile ters orantılı olduğu bilgisi verilmektedir. Dolayısıyla, matematiksel olarak şöyle bir ilişki kurabiliriz:
a + 3 = k \times \frac{(b - 2)}{(c + 1)}
Burada k orantı sabitidir. Soru, iki ayrı durumda verilen a, b, ve c değerleri yardımıyla önce bu sabiti bulmamızı, sonra da bu sabiti kullanarak yeni bir a değerini hesaplamamızı istemektedir. Verilen ilk bilgi:
- a = 3
- b = 5
- c = 4
İkinci durumda:
- b = 6
- c = 9
- Aradığımız: a = ?
Aşağıda, bu orantı ilişkisini oldukça detaylı ve adım adım irdeliyor; “doğru orantı” ve “ters orantı” kavramlarını, formülleri ve günlük hayattaki uygulamalarını da ele alacak şekilde kapsamlı bir şekilde anlatıyoruz.
İçindekiler
- Doğru ve Ters Orantı Kavramlarına Genel Bakış
- Problemin Ayrıntılı İncelenmesi
- Orantı Sabitinin (k) Hesaplanması
- Yeni Durumda a Değerinin Bulunması
- Adım Adım Çözüm Özet Tablosu
- Doğru ve Ters Orantıya İlişkin Ek Açıklamalar
- Gerçek Hayattan Örnekler
- Geniş Kapsamlı Bir Özet
- Sonuç
1. Doğru ve Ters Orantı Kavramlarına Genel Bakış
1.1 Doğru Orantı
İki nicelik (değişken), birbirinden biri arttıkça diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azaldıkça diğeri de aynı oranda azalıyorsa, bu iki nicelik doğru orantılıdır. Matematiksel ifadeyle:
x \propto y
ya da
x = k \times y
burada k sabit bir orantı katsayısıdır. Örneğin, bir otomobilin sabit hızla gittiğini varsayarsak, “gidilen mesafe” ile “zaman” arasında bir doğru orantı vardır: zaman arttıkça kat edilen mesafe de artar.
1.2 Ters Orantı
İki nicelik, birisi artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ters orantılı olarak tanımlanır. Formülü:
x \propto \frac{1}{y}
veya
x = \frac{k}{y}
Burada da k sabit bir orantı katsayısıdır. Örneğin, iş yapabilen sabit bir kapasitedeki işçi sayısı ve işin bitmesine kadar geçen süre arasında ters orantı vardır: aynı işin yapılması için işçi sayısı artarsa, süre kısalır (elbette iş büyüklüğü sabitse).
Bu problemde (a+3) ifadesi, aynı anda b-2 ile doğru orantılı, c+1 ile ters orantılı olarak verilmiştir. Bu, tek bir formülle toplandığında şöyle yazılabilir:
a + 3 = k \times \frac{(b - 2)}{(c + 1)}
Bu denklem, (a+3)’ün b-2 ile aynı doğrultuda (b-2 değerinin artışı ile büyümesi) fakat c+1 ile tersi yönde (c+1 değeri arttıkça a+3 değerinde azalma) değiştiğini ifade eder.
2. Problemin Ayrıntılı İncelenmesi
Elimizde iki farklı durum var:
-
Durum 1 (Verilerimiz):
- a = 3
- b = 5
- c = 4
-
Durum 2 (Aranan Değer):
- b = 6
- c = 9
- a = ?
Bu iki durum için de aynı orantı ilişkisi geçerli olduğundan, önce birinci durum yardımıyla k (orantı sabiti) değerini bulacağız. Ardından ikinci durumu kullanarak a’yı hesaplayacağız.
3. Orantı Sabitinin (k) Hesaplanması
Verilen formül:
a + 3 = k \times \frac{(b - 2)}{(c + 1)}
Birinci durumda:
- a = 3 → a + 3 = 6
- b = 5 → b - 2 = 3
- c = 4 → c + 1 = 5
Bu değerleri formüle yerleştirelim:
6 = k \times \frac{3}{5}
Buradan k değerini bulmak için:
k = \frac{6 \times 5}{3} = 6 \times \frac{5}{3} = 6 \times \frac{5}{3} = 10
Yani orantı sabiti k = 10 olarak bulunur.
Bu sonuç bize, a+3’ün (b - 2)/(c + 1) ifadesiyle 10 çarpılmasına eşit olduğunu söyler:
a + 3 = 10 \times \frac{(b - 2)}{(c + 1)}
4. Yeni Durumda a Değerinin Bulunması
Şimdi ikinci durum:
- b = 6 → b - 2 = 4
- c = 9 → c + 1 = 10
Ve yukarıda bulduğumuz
a + 3 = 10 \times \frac{(b - 2)}{(c + 1)}
formülünü yeni değerlere uygularsak:
a + 3 = 10 \times \frac{4}{10}
Bu ifade:
a + 3 = 10 \times 0{,}4 = 4
Sonuç olarak:
a = 4 - 3 = 1
Dolayısıyla, b=6 ve c=9 olduğunda, a = 1 bulunur.
5. Adım Adım Çözüm Özet Tablosu
Aşağıda, hem ilk durumu hem de ikinci durumu birlikte görebileceğimiz bir tablo sunulmuştur:
| Adım | Uygulama | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Orantı Denklemini Yazma | (a+3) = k \cdot \frac{(b-2)}{(c+1)} | Doğru-Ters orantı ifadesi |
| 2. İlk Durum Değerlerini Yerleştirme | a = 3,\ b=5,\ c=4 \Rightarrow (a+3) = 6,\ (b-2)=3,\ (c+1)=5 | 6 = k \times \frac{3}{5} |
| 3. k Sabitinin Bulunması | 6 = k \times \frac{3}{5} \Rightarrow k = \frac{6 \times 5}{3}=10 | k=10 |
| 4. Yeni Durum Değerlerini Yerleştirme | b=6,\ c=9 \Rightarrow (b-2)=4,\ (c+1)=10 | Denkleme konacak değerler: \frac{4}{10}=0.4 |
| 5. a + 3’ün Hesaplanması | a+3 = 10 \times 0.4 = 4 | a+3=4 |
| 6. Son Değerin Bulunması | a=4-3=1 | Cevap: a=1 |
Tablodan da görülebileceği üzere, tüm hesaplamalar sistematik bir şekilde yapılmış ve nihayetinde a=1 olarak elde edilmiştir.
6. Doğru ve Ters Orantıya İlişkin Ek Açıklamalar
Bir ifadenin hem doğru hem de ters orantıyı bir arada içermesi, aslında çok sık rastlanan bir durumdur. Bir büyüklüğün (a+3) birkaç farklı değişkenle (b-2 ve c+1) farklı şekillerde bağıntısı olabilir:
- (b-2) artarsa, (a+3)’ün artması beklenir (doğru orantı).
- (c+1) artarsa, (a+3)’ün azalması beklenir (ters orantı).
Bu tip bileşik orantılara, birden fazla etkeni içeren problem setlerinde sıklıkla rastlanır. Örneğin, bir yolculuk planlarken maliyetin, mesafeyle doğru orantılı ama araba paylaşan kişi sayısıyla ters orantılı olması gibi durumlar, pek çok öğrenci ve mühendislik hesabında da karşımıza çıkar.
7. Gerçek Hayattan Örnekler
-
Paylaşılan Maliyet Hesabı
- Her bireyin ödeyeceği tutar, toplam tutarla doğru orantılıdır (toplam tutar ne kadar artarsa kişi başı düşen ödeme de o kadar artar).
- Aynı anda katılımcı sayısıyla ters orantılıdır (katılımcı ne kadar çoksa, kişi başı ödeme o kadar azalır).
-
Lamba Parlaklığı ve Mesafe
- Bir lambanın yaydığı ışık şiddeti (enerji) sabit olsa da ortamda ölçülen aydınlık değeri, lambaya uzaklığımızın karesiyle ters orantılı olabilir. Aynı anda, lambanın güç değerinin yükselmesi parlaklığı artıracağı için doğru orantı örneği verilebilir.
-
Kapasite ve Süre İlişkisi
- Fabrika üretim hattına bakıldığında, işçi sayısı (veya makine sayısı) artırılırsa aynı üretimi tamamlamak için gereken süre azalır. Dolayısıyla iş gücü ile üretilen süre arasında ters orantı vardır.
- Ama mesela aynı işçi sayısının, saat başına ürettiği birim sayısı ile işçi sayısı doğru orantılıdır (her yeni işçi eklenince birim üretim saatte artar).
Bu günlük yaşam örnekleri, problemimizdeki gibi hem doğru hem ters orantıyı birleştiren senaryoların neden önemli olduğunu göstermektedir.
8. Geniş Kapsamlı Bir Özet
- Orantı Türleri: İki değişkenin birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu tespit etmek, matematikte çok önemlidir. Bir problemde doğru ve ters orantı öncüllerini aynı anda görmek, hesaplama açısından birleşik bir formül kurmamızı gerektirir.
- Bu Problemde Kurulan Formül:a + 3 = k \times \frac{(b - 2)}{(c + 1)}sergilediğimiz gibi, $(b - 2)’nin her artışı (a+3)’ün artmasına (doğru orantı), (c + 1)’in her artışı ise (a+3)$’ün azalmasına (ters orantı) yol açar.
- k Değerinin Bulunması: İlk verilen durum, genelde sorularda “veri-seti referansı” olarak kullanılır. Tek bilinmeyen k, bu verilere dayalı olarak kolaylıkla bulunur.
- İkinci Durum Şartları: k sabiti bilunduktan sonra ikinci durumun b ve c değerleriyle, a hızlıca hesaplanır.
- Uygulama Örneği:
- İlk durumda a=3, b=5, c=4 → a+3=6, b-2=3, c+1=5 → k = 10.
- İkinci durumda b=6, c=9 → b-2=4, c+1=10 → a+3 = 10×(4/10)=4 → a=1.
Sonuçta a=1’e ulaşırız.
Bu problemde tanımlananlar, orantı kavramının en sık rastlanan türlerinden birleşik orantı kategorisine örnektir. Gelişmiş bilimsel veya mühendislik konularında da (örneğin fizik, kimya, ekonomi) bu tür bağıntılar yaygın olarak kullanılmaktadır.
9. Sonuç
Tüm hesaplamalar ve analizler sonucunda, b=6 ve c=9 olduğunda a = 1 olarak bulunmuştur.
Bu problemi çözerken, doğru orantı ve ters orantı kavramlarını birleştirerek tek bir denklem oluşturduk; sabit katsayı k’yı ilk durumda verilen verilere göre çözüp, ikinci duruma uygulayarak aranan a değerine ulaştık.
Özetle:
- Orantı Denklemi: a+3 = k \times \dfrac{b-2}{c+1}
- Birinci durum: Verilen sayılar ile k=10 bulundu.
- İkinci durum: a+3=10\times\dfrac{(6-2)}{(9+1)}=10\times\dfrac{4}{10}=4 \implies a=1.
Cevap: a = 1
@sorumatikbot