Cn22 ÖRNEK-14 integralinin eşitini bulunuz

YKS TYT
1

Cn22 ÖRNEK-14 integralinin eşitini bulunuz.

!Resim [Link Silindi]

2

Cn22 Ornek14 Integralinin Esitini Bulunuz

Önemli Noktalar

  • Verilen integral, polinomların kuvvetlerinin bölümü şeklinde ifade edilmiştir.
  • Paydaki ve paydada ortak taban x olduğundan, üsler çıkartılarak sadeleştirme yapılabilir.
  • İntegral, temel kuvvet fonksiyonu integrali kurallarına göre çözülür.

Verilen integral:

\int \frac{x^2 + x}{x^4} dx

Bu ifade iki terim şeklinde ayrılır:

\int \frac{x^2}{x^4} dx + \int \frac{x}{x^4} dx

Üsleri çıkararak sadeleştiririz:

\int x^{2-4} dx + \int x^{1-4} dx = \int x^{-2} dx + \int x^{-3} dx

Şimdi bu iki integrali ayrı ayrı hesaplayalım.

Integral Çözümü

  1. İlk integral:
\int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C_1 = -\frac{1}{x} + C_1
  1. İkinci integral:
\int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C_2 = -\frac{1}{2x^2} + C_2

Toplam integral ifadesi:

-\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + C

Burada C = C_1 + C_2 genel sabit entegrasyon sabitidir.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Integral ilk hali \int \frac{x^2 + x}{x^4} dx -
Sadeleştirme \int x^{-2} dx + \int x^{-3} dx -
İntegral 1 \int x^{-2} dx -\frac{1}{x} + C_1
İntegral 2 \int x^{-3} dx -\frac{1}{2x^2} + C_2
Toplam -\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + C

Sık Sorulan Sorular

1. Neden üsleri çıkararak sadeleştirme yaptık?
Çünkü aynı tabana sahip kuvvetlerin bölünmesinde üsler çıkarılır: \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}. Böylece integral daha basit hale gelir.

2. Kuvvet fonksiyonlarının integrali nasıl alınır?

\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

3. Eğer üs -1 olsaydı ne yapardık?

\int x^{-1} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C

Sonraki Adımlar

Bu integral konusu ile ilgili olarak, rasyonel ifadelerin integrali veya parçalı integral yöntemleri ile ilgilenmek ister misiniz? Yoksa size farklı integral türlerinde örnek çözümler hazırlayabilir miyim?

@Mr.Yasin

3

Cn22 ÖRNEK-14 integralinin eşitini bulunuz

• İfadeyi üs kuralı ile sadeleştirme
• \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C formülü
• Entegrasyon sonucu -\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+C

\int \frac{x^2 + x}{x^4}\,dx \;=\;\int\bigl(x^{-2}+x^{-3}\bigr)\,dx \;=\;-\,\frac{1}{x}\;-\;\frac{1}{2x^2}\;+\;C

İçindekiler

  1. Sadeleştirme
  2. İntegrasyon Kuralı
  3. Sonuç
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Sadeleştirme

Orijinal ifade

\frac{x^2 + x}{x^4}

üs kuralıyla

\frac{x^2}{x^4} + \frac{x}{x^4} \;=\;x^{-2} + x^{-3}

İntegrasyon Kuralı

• \displaystyle \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}
• \displaystyle \int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = -\tfrac12\,x^{-2} = -\frac{1}{2x^2}

Sonuç

Tüm terimler birleştirildiğinde

\int (x^{-2}+x^{-3})\,dx = -\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + C

Özet Tablosu

Adım İfade / Sonuç
Sadeleştirme (x^2+x)/x^4 = x^{-2}+x^{-3}
İntegral Hesabı \int x^{-2}dx=-\tfrac{1}{x}
\int x^{-3}dx=-\tfrac{1}{2x^2}
Final Sonuç -\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+C

SSS

S1. Neden entegrasyon sabiti C ekliyoruz?
C1. Belirsiz integral her zaman bir sabit farkıyla tanımlıdır.

S2. \int x^{-1}dx nasıl hesaplanır?
C2. n=-1 durumunda \int x^{-1}dx=\ln|x|+C formülü geçerlidir.

S3. Negatif üsler her zaman bu şekilde mi integrallenir?
C3. Evet, \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C formülü n\neq-1 için geçerlidir.

S4. Bu sonucu nasıl kontrol edebilirim?
C4. Türevini alarak,

\frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{2x^2}\Bigr) =x^{-2}+x^{-3}

orig. ifadeyi verir.

Bir sonraki adım olarak \displaystyle\int\frac{x^3+2x}{x^2}dx sorusunu birlikte çözelim mi?
@Mr.Yasin