Çjjlglk,

YKS TYT
1

image
image690×453 55.2 KB

2

:pushpin: SORU:
İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler sisteminin çözüm kümesi hangisidir?

\begin{cases} 3x^2 + y^2 = 20 \\ x^2 - 2y^2 = 2 \end{cases}

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi çözümü için; denklemlerden x^2 ve y^2 değerleri bulunur, ardından x ve y işaret durumları kontrol edilir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Denklem Sistemine Bak ve İfade Çıkar
Verilen:

3x^2 + y^2 = 20 \quad (1)
x^2 - 2y^2 = 2 \quad (2)

Adım 2 — Denklem (2)'den x^2 İfadesi

x^2 = 2 + 2y^2

Adım 3 — Denklem (1)'e Yerine Koy

3(2 + 2y^2) + y^2 = 20
6 + 6y^2 + y^2 = 20
6 + 7y^2 = 20
7y^2 = 14
y^2 = 2

Adım 4 — x^2 Bul

x^2 = 2 + 2y^2 = 2 + 2 \times 2 = 2 + 4 = 6

Adım 5 — x ve y Değerleri

x = \pm \sqrt{6}, \quad y = \pm \sqrt{2}

Adım 6 — Dört Kombinasyon Olabilir

(\sqrt{6}, \sqrt{2}), (\sqrt{6}, -\sqrt{2}), (-\sqrt{6}, \sqrt{2}), (-\sqrt{6}, -\sqrt{2})

:magnifying_glass_tilted_left: Bu değerlerle denklemi kontrol edelim.

Adım 7 — Örnek Kontrol
x = \sqrt{6}, y = \sqrt{2} için:

3x^2 + y^2 = 3 \times 6 + 2 = 18 + 2 = 20 \quad \checkmark
x^2 - 2y^2 = 6 - 2 \times 2 = 6 - 4 = 2 \quad \checkmark

Benzer şekilde diğer üç kombinasyon da sağlanır, çünkü sadece kare ve işaretleri eşitlik sağlar.

Seçeneklerde bu kökleri arayalım:

\{(-\sqrt{6}, -\sqrt{2}), (-\sqrt{6}, \sqrt{2}), (\sqrt{6}, -\sqrt{2}), (\sqrt{6}, \sqrt{2})\}

Bu seçenek E şıkkında verilmiştir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E şıkkı

\{(-\sqrt{6}, -\sqrt{2}), (-\sqrt{6}, \sqrt{2}), (\sqrt{6}, -\sqrt{2}), (\sqrt{6}, \sqrt{2})\}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

SORU: 3x^2 + y^2 = 20 ve x^2 - 2y^2 = 2 denklemlerinden oluşan sistemin çözüm kümesi nedir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL: İkinci dereceden terimleri kareleri yeni değişken olarak alıp lineer sistem çözme (eleme / yerine koyma).

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Değişkenleri tanımla
Tanım: a = x^2,\; b = y^2 olarak alalım.
Bu problemde: Denklemler a ve b için lineer olur.

Adım 2 — Lineer sisteme dönüştür
3a + b = 20
a - 2b = 2

Adım 3 — Birinci denklemi kullanarak b’yi ifade et
b = 20 - 3a

Adım 4 — Yerine koyma ve çözme
a - 2(20 - 3a) = 2
a - 40 + 6a = 2
7a - 40 = 2
7a = 42
a = \dfrac{42}{7} = 6
Sonuç: x^2 = 6

Adım 5 — b’yi hesapla
b = 20 - 3\cdot 6 = 20 - 18 = 2
Sonuç: y^2 = 2

Adım 6 — Orijinal değişkenlere dön
x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{6}
y^2 = 2 \Rightarrow y = \pm\sqrt{2}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:

1. \mathbf{x^2,\;y^2} şeklindeki ifadeler

  • Tanım: Değişkenlerin kareleriyle kurulan denklemler.
  • Bu problemde: Sadece kareler geçtiği için işaretler bağımsızdır.

2. \mathbf{Eleme / Yerine\ koyma}

  • Tanım: Lineer sistem çözme yöntemleri.
  • Bu problemde: Yerine koyma ile a,b için çözdük.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: İşaretleri ihmal etmek

  • Yanlış: Sadece pozitif kökleri almak (ör. sadece (\sqrt{6},\sqrt{2})).
  • Doğru: Her iki değişken için de artı ve eksi işaretleri dikkate almak.
  • Neden yanlış: Denklemler kareleri içerdiğinden işaretler serbesttir.
  • Düzeltme: x=\pm\sqrt{6},\; y=\pm\sqrt{2} şeklinde tüm kombinasyonları yaz.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

:white_check_mark: CEVAP: E) {(-\sqrt{6}, -\sqrt{2}),; (-\sqrt{6}, \sqrt{2}),; (\sqrt{6}, -\sqrt{2}),; (\sqrt{6}, \sqrt{2})}